ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Физика > Сопротивление материалов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Примеры расчета

Пример 1.16 (к § 1.16). Определить, пользуясь третьей теорией прочности требуемую толщину стенки шарового тонкостенного сосуда, находящегося под действием внутреннего газового давления . Диаметр сосуда допускаемое напряжение

Решение. Окружные и меридиональные напряжения, возникающие в стенке сосуда, определяются по формуле (2.16).

Оба эти напряжения являются главными. Третье из главных напряжений, соответствующее площадке, касательной к поверхности сосуда, равно нулю (см. рис. 2.16). Учитывая правило индексов для главных напряжений и что напряжения и являются растягивающими, имеем

Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид

Подставляем в это выражение значения

откуда

Округляя, принимаем .

Пример 2.16 (к § 1.16). Определить напряжения и от на глубине h в стенке наполненного водой тонкостенного сосуда, имеющего форму полушара, радиус которого R и толщина стенки . Меридиональное сечение сосуда изображено на рис. 8.16, а. Сосуд подвешен к некоторой опорной конструкции. Собственным весом сосуда при расчете пренебречь.

Рис. 8.16

Решение. Рассечем сосуд на уровне АВ (на глубине ) конической поверхностью, перпендикулярной меридиану, и рассмотрим равновесие нижней отсеченной части (рис. 8.16, б).

На эту часть действуют следующие силы:

1) сила давления по плоскости АВ слоя воды высотой h, направленная вниз:

где учтено, что

2) вес воды в сосуде ниже сечения АВ, направленный вниз и равный

где — объемный вес воды; — объем элементарного слоя воды толщиной заштрихованного на рис. 8.16, б.

Подставив в выражение значения следовательно, и заменив пределы интегрирования, получим

3) сила действия верхней части сосуда на отсеченную нижнюю, направленная вверх:

так как

Представим уравнение равновесия нижней отсеченной части сосуда в виде суммы проекций всех сил на ось у:

откуда

Им формулы (1.16) при

Подставим в это выражение значение от и давление

Для определения напряжений на глубине h по заданным значениям h и R из равенства следует определить значение угла и затем подставить его в полученные выражения и от.

Пример 3.16 (к § 1.16). Определить толщину 6 стенки цилиндрической части котла диаметром D (изображенного на рис. 9.16), в котором находится пар под давлением Допускаемое напряжение равно

Рис. 9.16

Решение. На рис. 9.16 показаны сечение котла плоскостью перпендикулярной оси симметрии котла, и элемент стенки с действующими на него напряжениями и от. Радиусы кривизны этого элемента равны

Подставим значения в формулу (1.16):

откуда

Для определения напряжений от составим условие равновесия части котла, расположенной по одну сторону (например, справа) от сечения в виде суммы проекций сил на ось

здесь равнодействующая давления пара на правое днище котла; — результат действия левой части котла на правую (внутренняя сила, возникающая в сечении ).

Решим это уравнение относительно :

Таким образом, главные напряжения, возникающие в стенке котла, имеют следующие значения:

Формула для определения толщины стенки зависит не только от величин главных напряжений, но и от принятой для расчета теории прочности. Так как паровые котлы изготовляются обычно из малоуглеродистой стали (пластичного материала), то здесь применимы третья и четвертая теория прочности.

По третьей теории прочности (наибольших касательных напряжений),

или

откуда

По четвертой теории прочности (удельной потенциальной энергии изменения формулы),

или

откуда

Заметим, что по четвертой теории прочности требуемая толщина стенки получается меньшей, чем по третьей.

Пример 4.16 (к § 2.16). Стальной цилиндр, внутренний радиус которого и наружный , подвергается внутренному давлению (рис. 10.16, а). Построить эпюры напряжений и проверить прочность цилиндра по третьей теории прочности при допускаемом напряжении Определить увеличения внутреннего и наружного радиуса цилиндра; при этом принять

Решение. По формулам (7.16) и (8.16) при

С помощью полученных выражений находим: при см

Построенные по этим значениям эпюры изображены на рис. 10.16, б.

Рис. 10.16

Опасными являются точки у внутренней поверхности цилиндра, в которых действуют главные напряжения Проверяем прочность цилиндра в этих точках.

По третьей теории прочности, т. е.

Следовательно, прочность цилиндра достаточна.

По формулам (10.16) и (11.16) определяем увеличение внутреннего и наружного радиусов цилиндра:

Пример (к § 2.16). Составной открытый цилиндр состоит из двух труб, собранных с натягом. Размеры поперечного сечения цилиндра показаны на рис. 11.16, а. Наружная (первая) труба изготовлена с внутренним диаметром на 0,02 см меньше наружного диаметра внутренней (второй) трубы. Построить эпюры полных напряжений в цилиндре при внутреннем давлении Принять .

Решение. На рис. 11.16, б, в показаны сечения второй и первой труб и действующие на эти трубы давления. Полное (вызванное натягом и давлением ) давление, действующее по поверхности соприкосновения (контакта) первой и второй труб, обозначим

Увеличение наружного радиуса второй трубы равно [по формуле

Увеличение внутреннего радиуса первой трубы равно [по формуле (10.16)]

Внутренний радиус первой трубы изготовлен на меньше наружного радиуса второй трубы.

Рис. 11.16

После сборки составного цилиндра в частности, после создания давления оба эти радиуса одинаковы. Следовательно, или , откуда

Определяем по формуле (8.16) напряжения во второй трубе (рис. 11.16, б): при

Определяем по формуле (8.16) напряжения в первой трубе (рис. 11.16, в):

На рис. 11.16, г,д изображены эпюры . Напряжения в точках и 3 равны соответственно и нулю. Из эпюры (рис. 11.16, д) видно, что величина натяга при изготовлении труб для составного цилиндра выбрана излишне большой. В результате этого распределение напряжений по толщине цилиндра получилось резко неравномерным. Если бы, например, величина натяга была принята равной не 0,02 см, а 0,008 см, то эпюра напряжений имела бы вид, изображенный на рис. наибольшее напряжение равнялось бы при этом

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление