Примеры расчета

Пример 1.11 (к § 1.11, 4.11 и 5.11). Опредетить работу внешних сил, действующих на балку, изображенную на рис. 22.11, а. Задачу решить двумя приемами: а) выразив работу через внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях балки; б) выразив работу через величины внешних сил и значения соответствующих перемещений.

Рис. 22.11

Решение.

а) Эпюра изгибающих моментоз от нагрузки показана на рис. 22.11, б. По формуле (9.11) определяем работу внешних сил:

Интеграл представляет собой результат умножения эпюры (рис. 22.11, б) на ту же эпюру Перемножение этих эпюр производим по способу Верещагина:

Здесь перемножение эпюр для правой половины балки выполнено по формуле (27.11).

Подставим полученное значение интеграла в выражение А:

б) Определим сначала прогиб балки под грузом и угол поворота поперечного сечения балки, в котором приложен момент (см. рис. 22.11, а). Для этого в направлениях искомых перемещений прикладываем единичную силу (рис. 22.11, в) и единичный момент (рис. 22.11, г) и строим от этих единичных нагрузок эпюры изгибающих моментов (рис. 22.11, в, г). Определение перемещений производим по формуле (24.11). Для этого перемножаем по способу Верещагина эпюры а затем эпюры МР и

При вычислении принято, что эпюра на правой половине балки состоит из треугольников (см. рис. 18.11, е).

По формуле (4.11) находим работу внешних сил:

Этот результат совпадает с полученным выше (см. п.

Пример 2.11 (к § 4.11 и 5.11). Определить горизонтальное перемещение точки D рамы, изображенной на рис. 23.11, а.

Решение. Эпюра изгибающих моментов от нагрузки показана на рис. 23.11, б.

Прикладываем в направлении искомого перемещения единичную силу и строим от нее единичную эпюру изгибающих моментов М (рис. 23.11, в).

Рис. 23.11

По формуле (24.11), перемножая эпюры и М способом Верещагина, определяем искомое перемещение при этом учитываем, что моменты инерции поперечных сечений различных элементов рамы различны:

При перемножении эпюр учтено, что площадь эпюры на участке CD рамы, ограниченная вогнутой квадратной параболой, равна одной трети произведения наибольшей ординаты на длину элемента, т. е.

Центр тяжести этой параболы расположен на расстоянии от точки С рамы (см. табл. 1.11), и, следовательно, ордината эпюры М, соответствующая его положению, равна

Пример 3.11 (к § 4.11). Определить полное линейное перемещение точки А оси бруса малой кривизны (рис. 24.11, а) и угол поворота поперечного сечения, проходящего через эту точку.

Решение. Так как направление искомого перемещения заранее неизвестно, определим отдельно его горизонтальную и вертикальную составляющие, а затем найдем полное перемещение как геометрическую сумму указанных составляющих.

Влияние продольных и поперечных сил в соответствии с приведенным указанием учитывать не будем.

Изгибающий момент от заданной нагрузки в произвольном сечении бруса определится из выражения

Для нахождения горизонтального перемещения в точке А прикладываем горизонтально направленную единичную силу (рис. 24.11, б).

Соответствующее состояние системы будем называть первым. Выражение единичного изгибающего момента для этого состояния имеет вид

По формуле Мора,

здесь

Знак плюс указывает на совпадение действительного направления горизонтального перемещения точки А с принятым направлением единичной силы (рис. 24.11, б).

Рис. 24.11

Определяем вертикальное перемещение точки А. Для этого прикладываем к брусу вертикально направленную единичную силу, как показано на рис. 24.11, в. Соответствующее состояние системы будем называть вторым; изгибающие моменты от единичной силы в этом состоянии обозначим По рис. 24.11, в устанавливаем

По формуле Мора,

Знак минус указывает, что точка А перемещается противоположно приложенной единичной силе, т. е. вверх. Полное перемещение точки А

Для определения угла поворота сечения прикладываем в этом сечении момент, равный единице (рис. 24.11,г). Соответствующее состояние системы назовем третьим. Очевидно,

Искомое угловое перемещение

Сечение поворачивается по направлению приложенного единичного момента, т. е. против часовой стрелки.

Пример 4.11 (к § 4.11 и 5.11). Определить вертикальное перемещение Деточки С балки, защемленной левым концом и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 25.11, а).

Рис. 25.11

Решение. Строим грузовую эпюру изгибающих моментов (рис. 25.11, б). Затем по направлению искомого перемещения прикладываем единичную силу и строим от нее единичную эпюру изгибающих моментов М (рис. 25.11, в).

Для определения величины необходимо перемножить эпюры и М. Это можно сделать различными приемами; рассмотрим три из них:

1-й прием. Эпюру на левой половине балки рассматриваем как состоящую из трапеции 1-2-6-3-4-1 с отрицательными ординатами и из выпуклой квадратной параболы 2-6-3-5-2 с положительными ординатами (рис. 25.11, б).

Наибольшая ордината параболы

Перемножим эпюры ;

2-й прием. Отбрасываем правую половину балки, а ее влияние на левую заменяем моментом и силой действующими в сечении С балки (рис. 25.11, г). Эпюра изгибающих моментов для оставшейся левой половины балки показана на рис. 25.11, д она такая же, как и эпюра 1-2-5-3-4-1, изображенная на рис. 25.11, 6. Разбиваем эпюру на составляющие части (рис.

25.11, д), к которым относятся:

а) эпюра, имеющая вид прямоугольника с ординатами (от момента действующего в сечении С балки);

б) эпюра, имеющая вид треугольника с наибольшей ординатой (от поперечной силы действующей в сечении С);

в) эпюра в виде вогнутой квадратной параболы с наибольшей ординатой (от равномерно распределенной нагрузки q, приложенной к левой половине балки).

Умножим каждую из указанных частей эпюры (рис. 23.11, д) на единичную эпюру (рис. 25.11, в) и сложим полученные произведения:

3-й прием. Перемножим эпюры (рис. 25.11,б) и М (рис. 25.11, в) по формуле (28.11):

Пример 5.11 (к § 4.11 и 5.11). Определить вертикальное перемещение балки в точке приложения силы Р. Левый конец балки опирается на шарнирно неподвижную опору, а правый — поддерживается тягой, шарнирно соединенной с балкой (рис. 26.11, а). Жесткость сечения балки , жесткость сечения тяги

Рис. 26.11

Решение. В рассматриваемом случае один из элементов системы работает на изгиб (балка), а другой — на растяжение (тяга). При вычислении интеграла Мора для балки следует учесть только смещение, вызванное изгибающими моментами. В тяге возникает только одно внутреннее усилие — продольная сила поэтому для учета ее деформации надо вычислить соответствующий член интеграла Мора.

Таким образом, формула для определения перемещений получает вид

Прикладываем к балке в направлении искомого перемещения единичною силу и строим эпюру М (рис. 26.11,б). Эпюра изображена на рис. 26.11, а. Первое слагаемое определяем по правилу Верещагина:

Усилия в тяге при действии заданной и единичной сил

соответствующие эпюры представлены на рис. 26.11, а, б. Перемножая их по правилу Верещагина, определяем второе слагаемое в формуле перемещений:

Окончательно

Пример 6.11 (к § 4.11 и 5.11). Определить горизонтальное перемещение Д точки D пространственного бруса (рис. 27.11, а) в направлении, параллельном элементу АВ, и угол поворота поперечного сечения D в плоскости BCD. Поперечные сечения всех элементов бруса круглые, одинакового диаметра d. К свободному концу D бруса приложена сила Р, параллельная элементу ВС.

Рис. 27.11

Решение. На рис. 27.11, б, в изображены эпюры изгибающих М и крутящих моментов от действующей на брус силы Р.

Ординаты эпюры изгибающих моментов отложены со стороны сжатых волокон бруса; знак крутящих моментов (в элементе АВ) отрицателен, так как если смотреть на торец В, действующий на него крутящий момент будет направлен против часовой стрелки.

Для определения перемещения прикладываем в точке D единичную силу, параллельную элементу АВ (рис. 27.11, г). Эпюры изгибающих и крутящих моментов от действия этой силы показаны на рис. 27.11, д,е.

Перемещения определяем по формуле (25.11), учитывая лишь первые три ее члена. Умножая по способу Верещагина эпюру М (рис. 27.11, б) на эпюру (рис. 27.11, д) и эпюру (рис. 27.11, в) на эпюру М (рис. 27.11, е), получаем

где

Изгибающие моменты перемножены только на участке АВ бруса, так как на участках ВС и CD изгибающие моменты от заданной нагрузки (рис. 27.11, б) и от единичной силы (рис. 27.11, д) действуют в разных плоскостях. Результат перемножения эпюр крутящих моментов равен нулю, так как от заданной нагрузки они возникают лишь в элементе АВ (рис. 27.11, в), а от единичной силы — только в элементе ВС (рис. 27.11, е).

Для определения угла поворота прикладываем к сечению D бруса единичный момент, действующий в плоскости Эпюры изгибающих моментов и крутящих моментов от действия этого момента показаны на рис. 27.11, з, и. _

Умножая эпюру (рис. 27.11, б) на эпюру М” (рис. 27.11, з) и эпюру (рис. 27.11, в) на эпюру (рис. 27.11, и), находим

где