Глава 16. ТОНКОСТЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ОБОЛОЧКИ И ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫ

§ 1.16. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК

Тонкостенной осесимметричной называется оболочка, имеющая форму тела вращения (т. е. оболочка, полярно симметричная относительно некоторой оси), толщина стенки которой весьма мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхности.

Рис. 1.16

На рис. 1.16, а изображена срединная поверхность осесимметричной оболочки. Выделим из нее бесконечно малый элемент двумя меридиональными плоскостями ттхтг и (т. е. плоскостями, проходящими через ось симметрии оболочки) с углом между ними и двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии оболочки, одна из которых пересекает срединную поверхность оболочки по линии ВС, а другая — по линии

Радиусы кривизны срединной поверхности элемента ABCD в меридиональной плоскости обозначим а радиусы ее кривизны в плоскости, перпендикулярной меридиану, - (рис. 1.16, б).

Расчеты тонкостенных осесимметричных оболочек выполняют при проектировании различных резервуаров, газгольдеров, котлов и т. д. Нагрузки, действующие на такую оболочку со стороны заполняющей жидкости или газа, перпендикулярны ее поверхности и обычно полярно симметричны относительно оси симметрии оболочки.

Форму и размеры оболочки выбирают так, чтобы деформации ее от нагрузки были малы. В этом случае, если оболочка достаточно тонкая, при расчете можно пренебречь изгибом поверхности оболочки и считать, что напряжения по толщине стенки оболочки распределены равномерно.

Такой расчет называется расчетом по безмоментной теории. Если оболочка недостаточно тонкая, имеет резкие переломы в очертании, жесткие закрепления и нагружена сосредоточеннымисилами или моментами, то в зонах, прилегающих к местам переломов, закреплений, приложения нагрузки, а также у краев оболочки возникает изгиб.

Рис. 2.16

Однако по мере удаления от этих мест изгибающие моменты быстро затухают; поэтому расчет удаленных зон таких оболочек может производиться по безмоментной теории. Определение изгибающих моментов в оболочках, т. е. расчет оболочек по моментной теории, в настоящем курсе не рассматривается.

Элемент ABCD оболочки в ортогональных проекциях показан на рис. 2.16, а. По боковым граням элемента АВ и CD, совпадающим с меридиональными плоскостями, в силу симметрии оболочки и нагрузки касательные напряжения равны нулю; по этим граням действуют лишь нормальные напряжения (окружные напряжения).

Из закона парности касательных напряжений следует, что касательные напряжения по боковым граням ВС и AD также равны нулю; по этим граням действуют лишь нормальные напряжения (меридиональные напряжения). Кроме напряжений на элемент оболочки действует нагрузка в виде давления , перпендикулярного поверхности ABCD.

Составим условие равновесия бесконечно малого элемента оболочки в виде суммы проекций приложенных к нему сил на ось у, совпадающую с нормалью к поверхности ABCD:

где — толщина элемента ABCD оболочки.

В этом уравнении величина представляет собой силу, действующую на каждую из боковых граней АВ и CD элемента оболочки, каждую из боковых граней ВС и AD (рис. ). Величина равна проекции обеих сил (-проекции обеих сил на ось . Углы показаны на рис. и 2.16, а. Произведение представляет собой проекцию нагрузки, приложенной к элементу ABCD на ось

Вследствие малости углов их синусы равны величинам углов, а потому

Подставив эти значения синусов в выражение (а), после сокращения на получим

Формула (1.16) носит название уравнения Лапласа. Она используется для определения напряжений в стенке тонкостенной оболочки. Конечно, определить из одного уравнения две неизвестные величины невозможно, поэтому определить напряжения в стенке оболочки можно лишь на основе совместного решения уравнения Лапласа и уравнения равновесия части оболочки, отсеченной конической поверхностью, перпендикулярной меридианам. Исключением является сферическая (шаровая) оболочка, находящаяся под действием газового давления; для нее

где - диаметр сферы и вследствие центральной симметрии оболочки и действующей на нее нагрузки, а потому из уравнения (1.16)

Для оболочки, имеющей форму цилиндра или конуса, из уравнения Лапласа можно определить <эте, даже если от еще неизвестно. Это следует из того, что в указанных случаях (меридиан оболочки представляет собой прямую линию) и, значит, поэтому

В случае газового давления величина постоянна во всех точках поверхности оболочки; для резервуаров, наполненных жидкостью, значение по их высоте переменно.