Примеры расчета

Пример 1.7 (к § 4.7 и 5.7). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки с консолью, изображенной на рис. 92.7, а.

Решение. Отбросим опоры и заменим их влияние на балку опорными реакциями (рис. 92.7, б).

Составим сумму моментов всех сил относительно точки В:

или

откуда

Составим сумму проекций всех сил на вертикальную ось:

или

откуда

Балка имеет три участка (рис. 92.7, б). Обозначим расстояние от левого конца балки до некоторого ее сечения.

Рис. 92.7

Составим выражения поперечных сил Q и изгибающих моментов М, возникающих в поперечных сечениях балки [по формулам (3.7) и (2.7)]:

участок

участок

у часток III ):

По этим выражениям устанавливаем значения ординат эпюр Q и М в характерных сечениях балки:

участок

участок при

участок

Из условия найдем абсциссу сечения, в котором действует изгибающий момент

откуда

Построенные по полученным данным эпюры Q и М показаны на рис. 92.7, б, г. Эти эпюры удовлетворяют зависимости (7.7), вытекающей из теоремы Журавского. Действительно, на участке балки (рис. 92.7, в, г)

и, следовательно,

На участке II балки

и, следовательно,

В начале участка как и в конце участка а потому кривая, ограничивающая эпюру М на участке III, сопрягается без перелома с прямой, ограничивающей эпюру М на участке II (т. е. касательная к кривой в начале участка III сливается с прямой участка II).

Пример 2.7 (к § 4.7 и 5.7). На рис. 93.7, а показана консольная балка с действ) ющей на нее нагрузкой, а на рис. 93.7, б — эпюра Q для этой балки, при построении которой были сделаны ошибки.

Требуется установить, какие имеются несоответствия между эпюрой Q и заданной нагрузкой, и, устранив их, построить правильную эпюру

Решение. Между построенной эпюрой Q (рис. 93.7, 6) и заданной нагрузкой (рис. 93.7, а) имеются следующие несоответствия.

1. Эпюра Q не имеет скачка на границе участков т. е. в сечении, где приложена сосредоточенная сила Между тем здесь должен быть скачок сверху вниз (при передвижении слева направо), равный

2. Прямые не параллельны друг другу. Но из зависимости [вытекающей из формулы (5.7)], следует, что при одинаковой интенсивности равномерно распределенной нагрузки на участках углы и а (наклона линий, ограничивающих эпюру Q, к оси эпюры — рис. 93.7, б) должны быть одинаковы, а прямые параллельны друг другу.

Рис. 93.7

3. В поперечном сечении на границе участков II и 111 показан скачок в эпюре Q, равный (отрезку ). Однако в этом сечении к балке не приложена внешняя сосредоточенная сила, а потому скачка в эпюре Q быть не должно.

4. В пределах участка II значение поперечной силы (по построенной эпюре Q) изменяется на По формуле же (10.7) оно должно измениться на величину площади эпюры q на участке II (рис. 93.7, а), т. е. на

5. Прямая , ограничивающая эпюру и IV участках, должна быть параллельна оси эпюры, так как на этих участках к балке не приложена распределенная силовая нагрузка и, следовательно, поперечная сила в пределах этих участков постоянна.

Правильно построенная эпюра Q изображена на рис. 93.7, в.

Пример 3.7 (к § 4.7 и 5.7). На рис. 94.7, а показана консольная балка, рассмотренная в примере 2.7, а на рис. 94.7, б — эпюра Q для этой балки. При построении эпюры М (изображенной на рис. 94.7, в) допущены ошибки.

Требуется установить, какие имеются несоответствия между эпюрами М и Q, а также между эпюрой М и заданной нагрузкой, и, устранив их, построить правильную эпюру М.

Решение. Между построенной эпюрой М (рис. 94.7, в), а также эпюрой Q (рис. 94.7, б) и заданной нагрузкой (рис. 94.7, а) имеются следующие несоответствия.

1. В левой части участка балки поперечная сила Q больше по абсолютной величине, чем в правой, а потому [на основании формулы (7.7)] линия, ограничивающая эпюру М, должна быть круче в левой части участка и, следовательно, должна быть обращена выпуклостью вверх.

Рис. 94.7

Но на рис. 94.7 в кривая обращена выпуклостью вниз.

2. В поперечном сечении на границе участков I и II эпюра Q имеет скачок, а потому этом сечении должен быть перелом линии, ограничивающей эпюру М. Но на рис. 94.7, в кривые сопрягаются в точке b без перелома (имеют общую касательною).

3. Кривая в точке с (на участке II) имеет максимум. Однако значение М не может быть на частке II экстремальным, так как поперечная сила на этом участке (рис. 94.7, б) нигде не равна нулю.

4. Кривая и прямая в точке d должны сопрягаться без перелома, так как в соответствующем сечении балки (на границе участков II и III) эпюра поперечных сил не имеет скачка. Но на рис. 94.7, в в точке d имеется перелом линии, ограничивающей эпюру М.

5. На эпюре М на границе участков III и IV должен быть скачок вверх (при перемещении слева направо), равный так как сосредоточенный внешний момент действует по часовой стрелке. Между тем на построенной эпюре М в соответствующем сечении показан скачок вниз (отрезок на рис. 94.7, в).

Рис. 95.7

Эта ошибка является причиной и других несоответствий между эпюрой Q (рис. 94.7, б) и построенной эпюрой М (рис. 94.7, в), а именно:

а) прямые и (Рис. 94.7, в) не параллельны другу; между тем они должны быть параллельны, так как поперечные силы на участках III и IV балки одинаковы;

б) приращение величины изгибающего момента в пределах участка IV (рис. 94.7, в), равное не соответствует площади эпюры Q на этом участке (рис. 94.7, б), равной

Правильно построенная эпюра М изображена на рис. 94.7, г.

Пример 4.7 (к § 4.7 и 5.7). Построить эпюры Q и М для простой балки, загруженной нагрузкой, распределенной по закону треугольника (рис. 95.7, а).

Решение. Определяем опорные реакции балки

откуда

откуда

Выражения поперечной силы и изгибающего момента в сечении участка балки на расстоянии от левой опоры имеют вид:

Выражение представляет собой равнодействующую распределенной нагрузки на участке балки (рис. 95.7, а) у равную площади . Трапецию рассматриваем как состоящую из двух треугольников: треугольника площадью и треугольника площадью где треугольников следовательно,

Подставим значения в выражения

При

при

при

Для определения абсциссы 0 сечения, в котором действует максимальный изгибающий момент, приравняем нулю выражение поперечной силы:

откуда

и, следовательно,

Решим квадратное уравнение:

Подставим значение в выражение изгибающего момента:

На участке II балки поперечная сила имеет постоянное значение а изгибающий момент изменяется по линейному закону от значения до нуля (на правой опоре).

Построенные по полученным данным эпюры Q и М изображены на рис. 95.7, б, в.

Пример 5.7 (к § 4.7). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для многопролетной шарнирной балки, изображенной на рис. 96.7, а.

Рис. 96.7

Решение. Для определения опорных реакций (рис. 96.7, а) составляем уравнения равновесия:

откуда

откуда

откуда

Для проверки найденных значений опорных реакций составляем сумму проекций всех сил на вертикальную ось:

Определяем поперечные силы в сечениях балки

Построенная по этим данным эпюра Q показана на рис. 96.7, б.

Эпюра изгибающих моментов ограничена прямыми линиями, так как на балку действуют только сосредоточенные силы. Поэтому для построения эпюры М достаточно определить значения изгибающих моментов в местах перелома этой эпюры:

По этим значениям изгибающих моментов построена эпюра М (рис. 96.7, в). Пример 6.7 (к § 4.7 и 5.7). Построить эпюры и N для балки с ломаной осью, изображенной на рис. 97.7, а.

Решение. Отбросим мысленно опоры и заменим их влияние на балку опорными реакциями показанными на рис. 97.7, а.

Определим опорные реакции. Для этого составим три уравнения равновесия

откуда, учитывая, что

поэтому

откуда

На рис. 97.7, а крестиками отмечены нижние концы вертикальных элементов рамы, принимаемые в качестве левых концов.

Составляем выражения М, Q и N для всех участков рамы.

Сечение

Сечение

при

Сечение III — III:

Рис. 97.7

Поперечная сила равна нулю при (см. выражение ). Следовательно, в этом сечении изгибающий момент имеет экстремальное, в данном случае — максимальное (в алгебраическом смысле), значение:

Сечение IV—IV:

Эпюры М, Q и N изображены на рис. 97.7, б, в, г.

Пример 7.7 (к § 7.7, 8.7 и 9.7). Построить эпюры напряжений , возникающих в балке, рассмотренной в примере 1.7, в сечении, расположенном на величину левее опоры А. Исследовать с помощью круга Мора напряженное состояние в точке этого сечения, находящейся ниже нейтральной оси на расстоянии от нее. Размеры поперечного сечения балки: .

Решение. В рассматриваемом поперечном сечении балки действует изгибающий момент и поперечная сила (см. рис. 92.7, в, г).

Рис. 98.7

В точках поперечного сечения, расположенных на расстоянии у от нейтральной оси (рис. 98.7, а) нормальные напряжения определяются по формуле (17.7);

Изгибающий момент отрицателен. Следовательно, растягивающие (положительные) напряжения о возникают в верхней половине сечения балки, а сжимающие — в нижней. Эпюра напряжений с показана на рис. 98.7, б.

Распределение касательных напряжений в прямоугольном поперечном сечении балки рассмотрено в § 8.7. По высоте сечения эти напряжения распределены по закону квадратной параболы, определяемой выражением [см. формулу (29.7)]:

При (на нейтральной оси)

Эпюра напряжений показана на рис. 98.7, в.

Экстремальные касательные напряжения в точках, расположенных на расстоянии у от нейтральной оси, найдем по формуле (33.7), подставив в нее выражения напряжений а и , полученные выше:

Главные нормальные напряжения найдем по формуле (32.7):

Эпюры напряжений показаны на рис. 98.7, г, д, е, ж. На рис. 99.7, а показан элементарный параллелепипед, выделенный в окрестности точки рассматриваемого поперечного сечения, расположенной ниже нейтральной оси, на расстоянии от нее.

Рис. 99.7

Рис. 100.7

На рис. 99.7, б по напряжениям , действующим на боковых гранях этого параллелепипеда, построен круг Мора. С помощью этого круга графически определены значения главных нормальных и экстремальных касательных напряжений и направления площадок, на которых они действуют.

Пример 8.7 (к § 7.7). Определить размеры b и прямоугольного сечения бруса, выпиленного из бревна диаметром d, так чтобы (рис. 100.7).

Решение. Выражаем высоту сечения через ширину его b и диаметр бревна

Момент сопротивления относительно оси

Наибольшую величину момент сопротивления будет иметь при том значении при котором

Следовательно,

откуда

Высота сечения

Отношение сторон поперечного сечения

Способ разметки сечения бревна для получения из него бруса с таким отношением сторон показан на рис. 100.7 штриховыми линиями.

Пример 9.7 (к § 7.7). Дан брус квадратного поперечного сечения (рис. 101.7, а), изгибаемый в вертикальной плоскости (силовая плоскость проходит через ось у).

Рис. 101.7

Некоторое уменьшение площади сечения бруса, произведенное путем срезки двух ранных прямо) гольных треугольников 1-2-3 и (как это показано на рис. 101.7, б) вызывает увеличение момента сопротивления сечения и, следовательно, увеличение прочности бруса при изгибе. Определить длину катетов срезаемых треугольников 1-2-3 и при которой момент сопротивления будет наибольшим.

Решение. Составим выражение для момента инерции сечения, изображенного на рис. 101.7, б:

Здесь — момент инерции (относительно оси ) части сечения, заштрихованной на рис. 101.7, б; — момент инерции остальной части сечения, изображенной отдельно на рис. 101.7, в, равный моменту инерции прямоугольника, показанного на рис. 101.7, г.

Рис. 102.7

Момент сопротивления

Для определения значения а, при котором момент сопротивления будет наибольшим, приравняем нулю производную

или

откуда

Момент сопротивления на 5,4% больше момента сопротивления полного сечения, изображенного на рис. который равен

Значение не удовлетворяет условию задачи, так как при этом

Данный пример показывает, что иногда срезка отдельных частей площади поперечного сечения, хотя и вызывает уменьшение его момента инерции, но приводит к увеличению момента сопротивления и прочности балки.

Пример 10.7 (к § 11.7). Подобрать размеры b и h прямоугольного сечения (рис. 102.7) для балки, рассмотренной в примере 1.7, при отношении и допускаемом напряжении (для дерева) Проверить прочность балки по наибольшим касательным напряжениям, возникающим в ее поперечном сечении, если

Решение. Наибольший (по абсолютной величине) изгибающий момент в поперечном сечении балки (см. эпюру М на рис. 92.7, г).

По формуле (44.7) определяем требуемую величину момента сопротивления:

По формуле (22.7) при

откуда

и, следовательно,

В том же поперечном сечении балки (рис. 92.7, в, г) (у левой опоры), в котором имеется изгибающий момент Мтах, действует и наибольшая по абсолютной селичине поперечная сила

Наибольшие касательные напряжения, действующие в этом поперечном сечении в точках нейтральной оси, определяем по формуле Журавского (28.7):

здесь - статический момент половины поперечного сечения балки относительно нейтральной оси:

Касательные напряжения в точках нейтральной оси прямоугольного поперечного сечения можно определить и по формуле (30.7):

где - площадь поперечного сечения.

Пример 11.7 (к § 11.7). Определить допускаемую нагрузку для заданной чугунной балки (рис. 103.7, а), предварительно выбрав рациональное расположение сечения.

Рис. 103.7

Поперечное сечение балки изображено на рис. 103.7, б. Допускаемые нормальные напряжения: на растяжение на сжатие

Решение. Определив опорные реакции (показанные на рис. 103.7, а), строим эпюру изгибающих моментов (рис. 103.7, в).

Наибольший изгибающий момент возникает в сечении С. Здесь балка изгибается таким образом, что сжатые волокна находятся сверху; сечение следует расположить полкой вниз, чтобы точка 1 (рис. 103.7, б) поперечного сечения (она ближе к центру тяжести сечения и в ней поэтому возникают при изгибе меньшие по абсолютной величине нормальные напряжения, чем в точке 2) была в растянутой зоне.

Определяем допускаемую нагрузку из условия прочности балки в сечении С. На рис. 104.7, а показано положение нейтральной оси сечения (положение центра тяжести определено выше в примере 2.5).

Рис. 104.7

Вычисляем моменты сопротивления сечения относительно нейтральной оси:

Значение момента инерции сечения относительно нейтральной оси взято из примера 2.5.

По первой из формул (49.7)

откуда

Расчет по максимальным сжимающим напряжениям [по второй из формул (49.7)] в рассматриваемом случае является излишним, так как он даст большее значение допускаемой нагрузки. Это следует из того, что

Расчет нельзя считать законченным — может оказаться, что сечение F опаснее, чем С, так как хотя (рис. 103.7, в), но сечение F расположено таким образом, что полка находится в сжатой зоне, т. е. оно расположено нерационально. Условие прочности для сечения F имеет вид

откуда

Окончательно принимаем меньшее из двух найденных значений допускаемой нагрузки, т. е. 320 кгс. Таким образом, опасным является сечение F, хотя изгибающий момент в нем и не максимален.

На рис. 104.7, б, в показаны эпюры нормальных напряжений для сечений С и F, построенные при нагрузке, равной допускаемой. Напряжения равны допускаемым лишь в самых верхних точках сечения F; в остальных точках этого и во всех точках других поперечных сечений напряжения меньше допускаемых.

Пример 12.7 (к § 12.7). Определить положение центра изгиба для сечения балки, имеющего форму швеллера, изображенного на рис. 105.7.

Решение. Центр изгиба (точка К на рис. 105.7) расположен на оси симметрии швеллера (на оси г) на расстоянии от середины стенки швеллера, определяемом по формуле (56.7):

Здесь

Рис. 105.7

Рис. 106.7

Пример 13.7 (к § 13.7). Для составной металлической балки двутаврового сечения, изображенной на рис. 106.7, а, при заданном сечении поясов (рис. 107.7) требуется определить высоту h стенки при ее толщине и определить шаг а заклепок диаметром см. Допускаемые напряжения и [сгсм]

Решение. На рис. 106.7, б, в построены эпюры Q и М для заданной балки. Наибольший изгибающий момент равен По формуле (57.7) находим необходимый момент сопротивления:

Из таблицы сортамента угловой равнобокой стали находим геометрические характеристики уголков :

Определяем момент инерции сечения, показанного на рис. 107.7:

При

Для учета ослабления сечения заклепочными отверстиями уменьшаем получен ное значение момента инерции на

Момент сопротивления

где

Полученное значение W меньше требуемого. Поэтому необходимо увеличить высоту стенки балки. При

т. е. полученный момент сопротивления примерно равен необходимому моменту сопротивления.

Рис. 107.7

Уточняем момент сопротивления сечения, ослабленного отверстиями для вертикальных заклепок (отверстия для горизонтальных заклепок расположены в менее ослабленном сечении):

т. е. фактический момент сопротивления на 4% больше требуемого.

Принимаем см.

При одинаковом шаге а горизонтальных и вертикальных заклепок на одну горизонтальную заклепку (препятствующую сдвигу двух уголков и горизонтального листа) передается сдвигающее усилие, большее, чем на две вертикальные заклепки (препятствующие сдвигу только горизонтальных листов).

Поэтому путем расчета определяем шаг горизонтальных заклепок.

На одну горизонтальную двухсрезную заклепку можно передать сдвигаюшее усилие:

на смятие

Принимаем меньшее из полученных значений:

По формуле (59.7) находим сдвигающее усилие передаваемое на одну горизонтальную заклепку:

где

По условию прочности (60.7) принимаем

откуда

Пример 14.7 (к § 13.7). Определить необходимую высоту сварных швов прикрепляющих горизонтальные листы к стенке сварной двутавровой балки, показанной на рис. 108.7, при наибольшей поперечной силе, равной кгс/см.

Рис. 108.7

Решение. Определяем по формуле (58.7) сдвигающее усилие, приходящееся на 1 см длины балки (с одной стороны от оси ):

где

Из условия прочности (61.7) находим необходимую высоту шва:

Пример 15.7 (к § 16.7). Определить методом начальных параметров прогиб и угол поворота сечения К балки, изображенной на рис. 109.7.

Решение. Определяем опорную реакцию

откуда

На левом конце балки (при прогиб а угол поворота неизвестен. Для определения используем условие равенства нулю прогиба правого конца балки. По формуле (76.7) при

откуда

При вычислении равномерно распределенная нагрузка q доведена до правой опоры, а на последнем участке длиной а к балке приложена противоположно направленная равномерно распределенная нагрузка той же интенсивности (эти нагрузки показаны пунктиром на рис. 109.7).

Рис. 109.7

После определения значения по формулам (76.7) находим значения прогиба и угла поворота сечения К:

Пример 16.7. (к § 17.7). Определить графо-аналитическим методом прогибы и углы поворота сечений В и D балки постоянной жесткости изображенной на рис. 110.7, а.

Решение. На рис. 110.7, б показана эпюра М для заданной балки. На рис. 110.7, в изображена фиктивная балка, соответствующая заданной (см. рис. 83.7). Фиктивная балка загружена распределенной нагрузкой интенсивностью значения М в заданной балке положительны, а потому нагрузка также положительна (направлена снизу вверх).

Определим реакцию опоры Е фиктивной балки.

Для этого составим сумму моментов всех сил, приложенных правее шарнира С, относительно этого шарнира, которая должна быть равна нулю, так как изгибающий момент в шарнире равен нулю:

откуда

Рис. 110.7

По формулам (80.7) находим прогибы и углы поворота и сечений В и D заданной балки:

следовательно, прогиб вверх;

следовательно, прогиб вниз;

следовательно, поворот происходит по часовой стрелке;

Изогнутая ось балки показана на рис. 110.7, г.

Пример 17.7 (к § 18.7). Построить эпюры М и Q для неразрезной балки постоянного сечения, изображенной на рис. 111.7, а.

Рис. 111.7

Решение. Строим эпюру изгибающих моментов, рассматривая каждый пролет как простую однопролетную балку на двух опорах (рис. 111.7, б).

Составляем уравнение трех моментов для первой опоры [см. уравнение (86.7)];

Так как балка и нагрузка симметричны относительно середины балки, то изгибающие моменты над опорами 1 и 2 одинаковы, т. е,

Кроме того,

Следовательно,

откуда

Так как значения изгибающих моментов и отрицательны, то в опорных сечениях 1 и 2 верхние волокна балки растянуты, а нижние — сжаты.

Для построения эпюры М вычислим изгибающий момент под грузом Р по формуле (87.7):

По значениям опорных моментов и и значению изгибающего момента под грузом Р на рис. 111.7, в построена окончательная эпюра изгибающих моментов М.

По формуле (88.7) определяем поперечные силы в сечениях балки:

в пролете 0—1

в пролете 1—2 в сечениях между опорой 1 и силой Р

По этим данным на рис. 111.7, г построена эпюра Q для левой полоеины балки; эпюра Q для правой половины балки построена на этом же рисунке с учетом того, что нагрузка и балка симметричны относительно середины балки.

По формуле (89.7) определяем опорные реакции:

На рис. 111.7, д показана балка со всеми действующими на нее силами. Нетрудно видеть, что балка под действием этих сил находится в равновесии.

Пример 18.7 (к § 18.7). Построить эпюры М и Q для неразрезной балки, изображенной на рис. 112.7, а. Моменты инерции балки в разных пролетах различны.

Решение. Расчетная схема балки с нумерацией опор и пролетов показана на рис. 112.7, б. Вместо левого защемленного конца балка имеет пролет длиной

Для вычисления правых частей уравнений трех моментов строим эпюру изгибающих моментов, рассматризая каждый пролет как простую однопролетную балку (рис. 112.7, в). Эпюру моментов для консоли строим, начиная с правого конца, т. е. так же, как для консоли статически определимой балки.

Неизвестными являются опорные моменты Опорный момент (рис. 112.7, в).

Составим уравнения трех моментов:

Здесь

Ордината параболического участка эпюры изгибающих моментов в пролете (рис. 112.7, в) подсчитана (см. рис. 26.7, з) по формуле

Следовательно,

сокращения этих уравнений получаем

Решив эти уравнения, найдем

По формуле (87.7) составляем выражения изгибающих моментов для всех участков чаданной балки (за исключением консоли); — расстояние от левой опоры каждого пролета.

Пролет при

Пролет 2—3: при

Рис. 112.7

Построенная по этим данным окончательная эпюра изгибающих моментов бражена на рис. 112.7, г.

Продифференцировав выражения М по получим уравнения поперечных сил сечениях балки.

Пролет 1—2:

Пролет 2 — 3:

Определяем положение сечения, в котором поперечная сила равна нулю:

откуда

В этом сечении изгибающий момент имеет максимум

Построенная по этим данным эпюра Q изображена на рис. 112.7 д По формуле (89.7) определяем опорные реакции:

На рис. 112.7,е показана балка со всеми действующими на нее нагрузками (включая и опорные реакции). Проверяем равновесие балки под действием этих нагрузок:

Для проверки правильности полученных результатов вычисляем теперь с помощью уравнения метода начальных параметров прогиб балки в сечении над опорой 2.

Начальные параметры балки (в заделке 1)

По уравнению (76.7) метода начальных параметров

т. е. перемещение действительно равно нулю.