§ 6.6. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА НЕКРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Задачи определения напряжений и деформаций при кручении брусьев некруглого сечения нельзя решить методами сопротивления материалов. Такие задачи решаются методами теории упругости. В отличие от круглых брусьев, при кручении которых поперечные сечения остаются плоскими, сечения стержней любой другой формы искривляются. При этом различные точки одного поперечного сечения смещаются друг относительно друга параллельно оси стержня — происходит так называемая депланаиия поперечного сечения.

Рис. 17.6.

Рис. 18.6

На рис. 17.6 показана депланация прямоугольных поперечных сечений скручиваемого стержня; на рис. 18.6 она изображена с помощью горизонталей. Сплошные горизонтали показывают выпуклость, штриховые — вогнутость; диагонали и оси симметрии поперечного сечения остаются в одной плоскости и не искривляются.

В поперечном сечении скручиваемого бруса касательное напряжение в каждой точке, расположенной в непосредственной близости от боковой поверхности стержня, всегда направлено параллельно касательной к контуру сечения (рис. 19.6, а). Действительно, если касательное напряжение в этой точке направить под углом к касательной, то его составляющая перпендикулярная к касательной, будет отличной от нуля (рис. 19.6, б). Тогда и составляющая касательного напряжения на боковой поверхности стержня, параллельная его оси, на основании закона парности касательных напряжений, будет равняться т. е. будет отличной от нуля. Но этого быть не может, так как при кручении напряжения на боковой поверхности отсутствуют.

Следовательно, в точках поперечного сечения брусау около его контура, могут возникать касательные напряжения, лишь направленные вдоль контура (рис. 20.6).

Так как напряжения в точках контура поперечного сечения направлены параллельно касательным к контуру, то контур представляет собой как бы траекторию касательных напряжений.

Рис. 19.6

Это позволяет наметить примерный характер траекторий и внутри контура. Траектории касательных напряжений (силовые линии) для некоторых форм сечений показаны на рис. 21.6. Рассмотрение их позволяет сделать некоторые выводы не только о направлении, но и о величине касательных напряжений. Так, например, на рис. 21.6, а видно, что силовые линии более сгущены у середины длинной стороны прямоугольника, чем короткой; следовательно, касательные напряжения у середины длинной стороны имеют большую величину, чем у середины короткой.

Рис. 20.6

Рис. 21.6

Рассмотрение силовых линий, изображенных на рис. 21.6,б, в, показывает, что в замкнутом кольце крутящий момент создает элементарные пары из сил с плечами, примерно равными по величине среднему диаметру кольца D; в разрезанном же кольце плечи элементарных пар составляют часть толщины кольца , т. е. эти плечи значительно меньше диаметра D.

Следовательно, при одних и тех же крутящих моментах касательные напряжения в разрезанном кольце значительно больше, чем в неразрезанном; другими словами, сопротивляемость разрезанного кольца кручению ниже, чем неразрезанного.

Рис. 22.6

Расположение силовых линий касательных напряжений подобно характеру распределения скоростей течения жидкости при вращательном движении ее в сосуде, имеющем форму поперечного сечения скручиваемого бруса. Такое подобие, называемое гидродинамической аналогией, облегчает построение силовых линий касательных напряжений. Из него, в частности, следует, что с приближением к входящим углам контура поперечного сечения стержня (угол 6 на рис. 22.6) напряжения при кручении резко возрастают, так как возрастают скорости движения жидкости около таких углов. Для уменьшения этих напряжений входящие углы целесообразно заменять выкружками. Около внешних углов (углы 1—5 на рис. 22.6) происходит застой жидкости, и, следовательно, касательные напряжения там равны нулю.

Для удобства пользования формулам, применяемым при расчете на кручение брусьев некруглого сечения, придается такой же вид, как и в случае круглого сечения. В соответствии с этим наибольшие касательные напряжения в поперечном сечении бруса некруглого сечения определяются по формуле

а углы закручивания по формуле

Значения и зависят от формы поперечного сечения бруса Ниже приводятся формулы для их определения в случаях прямоугольного сечения и для тонкостенных стержней открытого профиля.

Брус прямоугольного сечения

Если обозначить большую сторону прямоугольного сечения Л и меньшую b, то

где определяются по табл. 1.6 в зависимости от отношения сторон

При можно пользоваться упрощенными формулами

Напряжения [см. формулу (32.6)] возникают в серединах длинных сторон прямоугольника. Касательные напряжения в серединах коротких сторон

(36.6)

где у определяется по табл. 1.6; при можно принимать

Таблица 1.6

Тонкостенные стержни открытого профиля

Сечение стержня разбивается на тонкостенных элементов в виде прямоугольников. Для всего стержня

где - значение для i-го элемента, подсчитанное по формуле (35.6); суммирование производится по всем тонкостенным элементам

где - размер меньшей стороны прямоугольного элемента, имеющего наибольшую толщину.

Наибольшие касательные напряжения возникают в серединах длинных сторон элемента, имеющего наибольшую толщину.

Если в сечении тонкостенного стержня имеются криволинейные элементы, то для них значения определяются как для прямоугольников той же толщины и с длиной А, равной длине оси элемента.

Формулы (37.6) и (38.6) практически являются точными, если сечение состоит из прямоугольных элементов, для каждого из которых . Но ими можно пользоваться для приближенных расчетов и при , подсчитывая при этом по формуле (34.6).

При расчете на кручение тонкостенных стержней из прокатных профилей к величине , полученной по формуле (37.6), вводится поправочный коэффициент, имеющий следующие значения: