Научная библиотека

§ 3.4. ОБЪЕМНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ПРИ ЧИСТОМ СДВИГЕ. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ E, G и «мю»

Относительное изменение объема в случае чистого сдвига определим по формуле (30.3):

Величина 0 в данной точке тела не зависит от того, как в ее окрестности выделен элементарный параллелепипед. Если его боковые грани являются площадками чистого сдвига (см. параллелепипед ABCD на рис. 2.4), то и, следовательно,

Итак, относительное изменение объема при чистом сдвиге равно нулю. Если напряженное состояние во всех точках тела является состоянием чистого сдвига, то и изменение объема всего тела (т. е. его объемная деформация) равно нулю.

Определим теперь потенциальную энергию деформации тела при чистом сдвиге. Как известно, полная удельная потенциальная энергия деформации и равна сумме удельной потенциальной энергии изменения объема и удельной потенциальной энергии изменения формы

Величины удельных потенциальных энергий найдем по формулам (36.3), (39.3) и (41.3). Подставим в них значения

Таким образом, при чистом сдвиге потенциальная энергия изменения объема равна нулю, а полная удельная потенциальная энергия равна удельной потенциальной энергии изменения формы.

Рис. 5.4

Величину полной удельной потенциальной энергии деформации при чистом сдвиге можно получить иным способом, не используя для этого общей формулы (36.3), относящейся к любому случаю напряженного состояния, а рассматривая работу касательных сил, действующих по боковым граням элементарного параллелепипеда, совмещенным с площадками чистого сдвига. В результате деформации такого параллелепипеда, показанной на рис. 5.4, работу совершит лишь сила, действующая на грань ВС, так как перемещения граней AB, CD и AD в своих плоскостях при сдвиге равны нулю. Грань ВС перемещается в своей плоскости на величину так как грань ВС является площадкой чистого сдвига и, следовательно, для нее ттах.

Сила Т, действующая по грани ВС, равна произведению соответствующего напряжения на площадь этой грани:

где l — размер параллелепипеда в направлении, перпендикулярном к чертежу.

Работа силы Т при ее статическом действии (см. § 6.2) на перемещении А численно равна потенциальной энергии

где - объем элементарного параллелепипеда .

Удельная потенциальная энергия деформации параллелепипеда определяется выражением

Приравняем первое из выражений (5.4) выражению (6.4):

откуда

Коэффициент Пауссона для различных материалов имеет значение от нуля примерно до 0,5 и, следовательно, на основании формулы (7.4) величина модуля сдвига G составляет от 0,33 до 0,5 величины модуля упругости Е. Для большинства материалов, в том числе и для стали, можно приближенно принимать ; следовательно, для стали

Рис. 6.4

Легко показать, что любое напряженное состояние (характеризуемое значениями главных напряжений — рис. 6.4, а) можно представить в виде суммы следующих состояний:

а) равномерного пространственного растяжения (или сжатия), показанного на рис. 6.4, б, которое назовем состоянием X;

б) двух состояний чистого сдвига (рис. 6.4, в и г), называемых соответственно состояниями и

В соответствии с этим деформацию тела в любой точке можно рассматривать как сумму деформации, вызываемой пространственным равномерным растяжением (или сжатием), и деформации сдвига в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Из рисунков очевидно, что

Здесь X, Y и Z — слагаемые напряжений

В результате совместного решения полученных трех уравнений находим значения напряжений для рассматриваемых трех состояний (см. рис. 6.4, б, в, г):

При пространственном равномерном растяжении (или сжатии) изменяется объем параллелепипеда, но сохраняется его форма; при чистом же сдвиге изменяется его форма, но сохраняется его объем.

Аналогично этому и полная удельная потенциальная энергия деформации распадается на две самостоятельные части: (см. об этом в § 9.3): на энергию изменения объема накопленную при пространственном равномерном растяжении (или сжатии), и на энергию изменения формы накопленную при деформациях чистого сдвига.

Рис. 7.4

Расчленение полной удельной потенциальной энергии деформации на такие две части является следствием того, что работа сил состояния X на перемещениях любого из состояний Y или Z равна нулю.

Допустим, что после того, как закончилось статическое нарастание сил состояния X (рис. 7.4), на элементарный параллелепипед начали действовать статически возрастающие силы состояния

Выражение работы сил состояния X на перемещениях, возникающих от сил состояния Y (и соответствующее ей выражение потенциальной энергии деформации можно представить в следующем виде:

Здесь - элементарная сила, действующая на грань площадью Эта сила остается постоянной (т. е. не изменяет своей величины) при статическом возрастании сил состояния Y; - абсолютное удлинение ребра от действия сил состояния У, которое определяется по формуле (26.3):

Произведение элементарной силы на величину представляет собой работу этой силы на удлинении ребра параллелепипеда от действия сил состояния Y. Так как эта сила при статическом возрастании сил состояния Y не изменяется, то выражение ее работы не содержит коэффициента 1/2.

Аналогичное значение имеют и остальные слагаемые формулы для

Абсолютные удлинения остальных ребер параллелепипеда найдены по той же формуле (26.3):

Подставляем полученные выражения удлинений ребер в формулу для

т. е. работа сил состояния X на перемещениях состояния Y равна нулю. Следовательно,

Можно показать, что работа сил состояния X на перемещениях состояния Z также равна нулю.

Итак, потенциальная энергия деформации действительно расчленяется на две указанные выше части и ее можно определить по формуле

Здесь — удельная потенциальная энергия, накопленная в результате всестороннего равномерного растяжения (или сжатия), т. е. энергия изменения объема

Рис. 8.4

Рис. 9.4

Сумма слагаемых представляет собой удельную потенциальную энергию и изменения формы.

Используя выражение (36.3) и рис. 8.4 получаем формулу для определения удельной потенциальной энергии изменения объема:

Аналогично, используя выражение (36.3) и рис. 9.4, получаем формулу для определения удельной потенциальной энергии изменения формы: