§ 3.11. ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Рассмотрим два состояния системы. В первом состоянии к системе приложена сила а во втором — сила (рис. 12.11).

Обозначим перемещения, вызванные единичными силами или моментами (т. е. силами или моментами знаком б в отличие от перемещений, вызванных силами и моментами, не равными единице, обозначаемых знаком Д. В соответствии с этим перемещение рассматриваемой системы по направлению единичной силы в первом состоянии (т. е. вызванное силой ) обозначим , а перемещение по направлению единичной силы во втором состоянии обозначим 612 (см. рис. 12.11).

Рис. 12.11

На основании теоремы о взаимности работ [см. формулу (16.11)] для рассматриваемых двух состояний

но так как

то

или в общем случае действия любых единичных сил

(21.11)

Полученное равенство носит название теоремы о взаимности перемещений (теоремы, или принципа, Максвелла): для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой.

Для иллюстрации теоремы Максвелла в качестве примера рассмотрим два состояния балки, изображенной на рис. 13.11. В первом состоянии на балку действует сила а во втором — момент

Угол поворота вызванный силой на основании формулы (21.11) должен быть численно равен прогибу вызванному моментом

Определим значения методом начальных параметров. В первом состоянии (рис. 13.11, а)

во втором состоянии (рис. 13.11, б)

При

т. е.

Рис. 13.11

Единичные перемещения (например, перемещения, вызванные отвлеченной единичной силой или отвлеченным единичным моментом имеют размерности, отличные от обычных размерностей перемещений. Размерность единичного перемещения представляет собой размерность отношения перемещения (не единичного) к вызвавшей его нагрузке. Так, например, в рассмотренном примере единичный угол поворота в, вызванный силой имеет размерность единичный прогиб вызванный моментом имеет размерность или т. е. такую же размерность, как и угол