§ 18.7. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК

Как уже известно, балка является статически определимой, если она оперта на две шарнирные опоры (одну подвижную и одну неподвижную) или заделана с одного конца, т.е. если на нее наложены три внешние связи. Исключение составляют многопролетные шарнирные балки (состоящие из нескольких отдельных балок, соединенных между собой промежуточными шарнирами), которые могут быть статически определимыми и при числе внешних связей больше трех (см. об этом в § 3.7).

Рис. 85.7

На рис. 85.7, а,б изображены две статически неопределимые балки; на каждую из них наложены четыре внешние связи, и, следовательно, эти балки по одному разу статически неопределимы. На рис. 85.7, в показана балка с шестью внешними связями; она три раза статически неопределима. Степень статической неопределимости балки (не имеющей промежуточных шарниров) равна избыточному (лишнему) числу внешних связей (сверх трех). Статически неопределимые балки часто называют неразрезными балками.

Расчет неразрезных балок, как и расчет любых статически неопределимых систем, нельзя выполнить при помогди одних лишь уравнений равновесия; всегда необходимо составить дополнительные уравнения (уравнения перемещений), учитывающие характер деформации балки.

На рис. 86.7, а изображена один раз статически неопределимая балка.

Для расчета этой балки ее можно представить как статически определимую балку, показанную на рис. 86.7, б, полученную из заданной в результате отбрасывания правой опоры. Статически определимая система, полученная из заданной удалением избыточных связей, называется основной системой. Балка, показанная на рис. 86.7, б, является основной системой для заданной балки (рис. 86.7, а).

Рис. 86.7

На основную систему (рис. 86.7, б), кроме заданной нагрузки q, действует неизвестная реакция RB отброшенной связи. Под действием нагрузки q балка, показанная на рис. 86.7,б, деформируется и ее свободный конец перемещается вниз (рис. 86.7, в) на величину которую легко можно определить методом начальных параметров:

Под действием силы RB свободный конец балки, показанной на рис. 86.7,б, перемещается вверх на величину (рис. 86.7, г), которую также можно определить методом начальных параметров:

При одновременном действии заданной нагрузки q и силы прогиб свободного конца балки, показанной на рис. 86.7,б, определяется выражением

Этот прогиб равен нулю, так как прогиб правого конца заданной балки (рис. 86.7, а) равен нулю:

откуда

Следовательно, действительная реакция, возникающая на правой опоре статически неопределимой заданной балки, равна Изгибающий момент М и поперечную силу Q в сечении заданной балки можно теперь определить по формулам (2.7) и (3.7), как в статически определимой балке, показанной на рис. 86.7, а:

Построенные с помощью этих выражений эпюры Q я М для заданной балки изображены на рис. 86.7, е, ж.

Расчет заданной балки можно выполнить и с помощью других основных систем, например, показанных на рис. 86.6, з, и.

Расчет неразрезных балок производится обычно с помощью так называемых уравнений трех моментов. Такой способ расчета позволяет избежать составления дополнительных уравнений типа (81.7). Кроме того, этот способ позволяет получить дополнительные уравнения с числом неизвестных в каждом из них не более трех, что при высокой степени статической неопределимости заданной балки упрощает решение системы уравнений.

Рассмотрим теперь расчет неразрезных балок с помощью уравнений трех моментов.

На рис. 87.7, а показан участок, выделенный из многопролетной неразрезной балки, находящейся под действием некоторой нагрузки. Опоры балки обозначаются слева направо числами и т.д. Длины пролетов неразрезной балки обозначаются (также слева направо) и т.д. Индекс при длине каждого пролета I соответствует номеру правой опоры этого пролета. Моменты инерции J поперечных сечений балки постоянны по длине каждого ее пролета; в разных пролетах моменты инерции могут иметь различные значения.

Основную систему для расчета неразрезной балки получим, удалив из нее связи, препятствующие взаимному повороту смежных сечений балки над ее опорами, т. е. поставив шарниры над опорами балки (рис. ). Неизвестными являются изгибающие (опорные) моменты и т.д., возникающие в сечениях неразрезной балки над опорами. Неизвестные моменты считаем положительными, когда они вызывают растяжение нижних волокон балки.

Рассмотрим два пролета балки, прилегающие к опоре , изображенные на рис. 87.7, в. Здесь пунктиром показана изогнутая ось балки. На рис. 87.7, г изображены участки балки, непосредственно прилегающие к опоре . Здесь — угол поворота поперечного сечения, принадлежащего левому пролету и непосредственно примыкающего к опоре , а -угол поворота сечения, принадлежащего правому пролету и также непосредственно примыкающего к опоре . Оба эти сечения, в сущности, представляют одно поперечное сечение, расположенное над опорой , а потому углы их поворота одинаковы, т. е.

Углы поворота и можно рассматривать как следствие воздействия на отдельные однопролетные балки, показанные на рис. 87.7, д, заданных нагрузок, а также неизвестных опорных моментов Условие (82.7), следовательно, означает, что угол поворота правого торца левой из балок, показанных на рис. 87.7, д, равен углу поворота левого торца правой балки, т. е. взаимный угол поворота этих торцов равен нулю. Неизвестные моменты и т.д. имеют такие значения, при которых указанное условие выполняется не только для опоры , но и для всех промежуточных опор неразрезной балки.

Найдем значения углов и графо-аналитическим методом.

На рис. 87.7, е, ж изображены фиктивные балки для пролетов загруженные фиктивной нагрузкой На рис. 87.7, е показана фиктивная нагрузка, соответствующая действию на эти пролеты нагрузки, заданной на балку, а на рис. -действию на них неизвестных моментов

На основании второй из формул (80.7) углы и соответственно равны фиктивным поперечным силам и возникающим на опорах пролетов фиктивных балок, т.е.

где (рис. 87.7, е), а также и (рис. 87.7, ж) — реакции опор фиктивных балок.

Подставим выражения и в равенство (82.7):

или

(см. скан)

Рис. 87.7

Определим реакции фиктивных балок:

где и -площади эпюр изгибающих моментов, возникающих от заданной внешней нагрузки в простых балках с пролетами в основной системе рис. 87.7, б); — расстояния от центров тяжести указанных эпюр до опор (рис. 87.7, е);

Подставим найденные выражения реакций в равенство (84.7) и умножим обе части равенства на

или

В это уравнение входят три неизвестных момента: оно показывает, что взаимный угол поворота двух смежных поперечных сечений над опорой равен нулю. Условимся его называть уравнением трех моментов для опоры п.

В случае балки постоянного сечения (т.е. при ) уравнение трех моментов имеет вид

Момент приложен слева от опоры момент — справа, а моменты — посредине (см. рис. 87.7, в). Пролет по отношению к опоре для которой составляется уравнение трех моментов, является левым, а пролет — правым. Поэтому последнее уравнение можно представить в виде

Обозначения, принятые в уравнении (86.7), приведены на рис. 88.7, где эпюры М построены от заданной на балку внешней нагрузки.

При их построении действие опорных моментов не учитывается, а каждый пролет рассматривается как простая балка на двух опорах.

Если эпюры изгибающих моментов, возникающих от заданной внешней нагрузки в однопролетных балках основной системы, представляют собой сложные фигуры, то их следует расчленять на ряд простых фигур (площади и положения центров тяжести которых известны). В этих случаях в правые части уравнений (85.7) и (86.7) вместо выражений и подставляются

Рис. 88.7

Уравнение трех моментов устанавливает зависимость между тремя опорными моментами для двух смежных пролетов неразрезной балки. Число таких уравнений для неразрезной балки, у которой все опоры шарнирные, равно числу промежуточных опор балки. Совместное решение всех уравнений трех моментов, составленных для заданной неразрезной балки, позволяет определить все неизвестные опорные моменты.

После определения (при помощи уравнений трех моментов) величин всех опорных изгибающих моментов можно определить изгибающие моменты и поперечные силы в пролетах неразрезной балки и ее опорные реакции. При этом каждый пролет можно рассматривать как простую балку на двух опорах, нагруженную опорными моментами и заданной внешней нагрузкой.

Значения изгибающих моментов и поперечных сил, возникающих в сечении с абсциссой (рис. 89.7) пролета балки, можно определить и по формулам:

где — изгибающий момент и поперечная сила от заданной внешней нагрузки в простой балке; - изгибаюший момент от опорных моментов — поперечная сила от опорных моментов (равная опорной реакции от действия указанных опорных моментов).

С помощью формул (87.7) и (88.7) можно построить эпюры Q и М для неразрезной балки.

Для определения реакции опоры выполним следующее: выделим элемент неразрезной балки двумя сечениями, расположенными на расстояниях по обе стороны от опоры . В сечении слева от опоры действует поперечная сила а в сечении справа — поперечная сила

На рис. 90.7, а изображен такой элемент балки с действующими на него положительными поперечными силами и опорной реакцией Направление вверх для опорных реакций будем считать положительным.

Рис. 89.7

Рис. 90.7

Проектируем на вертикальную ось все силы, действующие на выделенный элемент:

откуда

Таким образом, опорная реакция неразрезной балки равна разности поперечных сил, действующих в сечениях, расположенных справа и слева от опоры в непосредственной близости от нее, т. в. величине уступа (скачка) в эпюре поперечных сил в сечении над опорой (рис. 90.7, б).

Рассмотрим теперь неразрезную балку, показанную на рис. 91.7, а. Будем постепенно уменьшать левый пролет балки. В этом случае касательная к упругой линии, проведенная через шарнир левой опоры, в пределе (при ) совпадет с недеформированной осью балки (рис. 91.7, б), т. е. поперечное сечение балки над промежуточной опорой 1 поворачиваться не будет. Таким образом, балку, показанную на рис. 91.7, а при можно рассматривать как балку, защемленную в сечении 1 (рис. 91.7, б).

Следовательно, расчет статически неопределимых (неразрезных) балок с защемленными концами можно производить при помощи уравнений трех моментов, рассматривая защемленный конец как дополнительный пролет длиной опирающийся на шарнирные опоры.

В заключение укажем порядок, в котором рекомендуется производить расчет неразрезных балок.

1. Составляется расчетная схема неразрезной балки; если какой-либо конец балки защемлен, то со стороны этого конца к балке добавляется пролет длиной, равной нулю.

2. Нумеруются (слева направо) опоры и пролеты неразрезной балки.

3. Для каждого пролета балки (как для простой балки на двух опорах) строится эпюра изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки.

Рис. 91.7

4. Составляются уравнения трех моментов для каждой промежуточной опоры балки.

5. Путем совместного решения уравнений трех моментов определяются значения опорных моментов (в сечениях над всеми промежуточными опорами).

6. Для каждого пролета балки строятся эпюры Q и М как для однопролетной простой балки, загруженной заданной нагрузкой и опорными моментами. При этом можно использовать формулы (87.7) и (88.7).

7. По формуле (89.7) определяются опорные реакции неразрезной балки.

Некоторые особенности имеет расчет неразрезной балки с консолями (см. ниже пример 18.7).