1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640
Макеты страниц
§ 18.7. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОККак уже известно, балка является статически определимой, если она оперта на две шарнирные опоры (одну подвижную и одну неподвижную) или заделана с одного конца, т.е. если на нее наложены три внешние связи. Исключение составляют многопролетные шарнирные балки (состоящие из нескольких отдельных балок, соединенных между собой промежуточными шарнирами), которые могут быть статически определимыми и при числе внешних связей больше трех (см. об этом в § 3.7). Рис. 85.7 На рис. 85.7, а,б изображены две статически неопределимые балки; на каждую из них наложены четыре внешние связи, и, следовательно, эти балки по одному разу статически неопределимы. На рис. 85.7, в показана балка с шестью внешними связями; она три раза статически неопределима. Степень статической неопределимости балки (не имеющей промежуточных шарниров) равна избыточному (лишнему) числу внешних связей (сверх трех). Статически неопределимые балки часто называют неразрезными балками. Расчет неразрезных балок, как и расчет любых статически неопределимых систем, нельзя выполнить при помогди одних лишь уравнений равновесия; всегда необходимо составить дополнительные уравнения (уравнения перемещений), учитывающие характер деформации балки. На рис. 86.7, а изображена один раз статически неопределимая балка. Для расчета этой балки ее можно представить как статически определимую балку, показанную на рис. 86.7, б, полученную из заданной в результате отбрасывания правой опоры. Статически определимая система, полученная из заданной удалением избыточных связей, называется основной системой. Балка, показанная на рис. 86.7, б, является основной системой для заданной балки (рис. 86.7, а). Рис. 86.7 На основную систему (рис. 86.7, б), кроме заданной нагрузки q, действует неизвестная реакция RB отброшенной связи. Под действием нагрузки q балка, показанная на рис. 86.7,б, деформируется и ее свободный конец перемещается вниз (рис. 86.7, в) на величину Под действием силы RB свободный конец балки, показанной на рис. 86.7,б, перемещается вверх на величину При одновременном действии заданной нагрузки q и силы Этот прогиб равен нулю, так как прогиб правого конца заданной балки (рис. 86.7, а) равен нулю: откуда Следовательно, действительная реакция, возникающая на правой опоре статически неопределимой заданной балки, равна Построенные с помощью этих выражений эпюры Q я М для заданной балки изображены на рис. 86.7, е, ж. Расчет заданной балки можно выполнить и с помощью других основных систем, например, показанных на рис. 86.6, з, и. Расчет неразрезных балок производится обычно с помощью так называемых уравнений трех моментов. Такой способ расчета позволяет избежать составления дополнительных уравнений типа (81.7). Кроме того, этот способ позволяет получить дополнительные уравнения с числом неизвестных в каждом из них не более трех, что при высокой степени статической неопределимости заданной балки упрощает решение системы уравнений. Рассмотрим теперь расчет неразрезных балок с помощью уравнений трех моментов. На рис. 87.7, а показан участок, выделенный из многопролетной неразрезной балки, находящейся под действием некоторой нагрузки. Опоры балки обозначаются слева направо числами Основную систему для расчета неразрезной балки получим, удалив из нее связи, препятствующие взаимному повороту смежных сечений балки над ее опорами, т. е. поставив шарниры над опорами балки (рис. Рассмотрим два пролета балки, прилегающие к опоре Углы поворота и можно рассматривать как следствие воздействия на отдельные однопролетные балки, показанные на рис. 87.7, д, заданных нагрузок, а также неизвестных опорных моментов Найдем значения углов На рис. 87.7, е, ж изображены фиктивные балки для пролетов На основании второй из формул (80.7) углы где Подставим выражения и или (см. скан) Рис. 87.7 Определим реакции фиктивных балок: где Подставим найденные выражения реакций в равенство (84.7) и умножим обе части равенства на или В это уравнение входят три неизвестных момента: В случае балки постоянного сечения (т.е. при Момент Обозначения, принятые в уравнении (86.7), приведены на рис. 88.7, где эпюры М построены от заданной на балку внешней нагрузки. При их построении действие опорных моментов Если эпюры изгибающих моментов, возникающих от заданной внешней нагрузки в однопролетных балках основной системы, представляют собой сложные фигуры, то их следует расчленять на ряд простых фигур (площади и положения центров тяжести которых известны). В этих случаях в правые части уравнений (85.7) и (86.7) вместо выражений Рис. 88.7 Уравнение трех моментов устанавливает зависимость между тремя опорными моментами для двух смежных пролетов неразрезной балки. Число таких уравнений для неразрезной балки, у которой все опоры шарнирные, равно числу промежуточных опор балки. Совместное решение всех уравнений трех моментов, составленных для заданной неразрезной балки, позволяет определить все неизвестные опорные моменты. После определения (при помощи уравнений трех моментов) величин всех опорных изгибающих моментов можно определить изгибающие моменты и поперечные силы в пролетах неразрезной балки и ее опорные реакции. При этом каждый пролет можно рассматривать как простую балку на двух опорах, нагруженную опорными моментами и заданной внешней нагрузкой. Значения изгибающих моментов и поперечных сил, возникающих в сечении с абсциссой где С помощью формул (87.7) и (88.7) можно построить эпюры Q и М для неразрезной балки. Для определения реакции опоры На рис. 90.7, а изображен такой элемент балки с действующими на него положительными поперечными силами Рис. 89.7 Рис. 90.7 Проектируем на вертикальную ось все силы, действующие на выделенный элемент: откуда Таким образом, опорная реакция неразрезной балки равна разности поперечных сил, действующих в сечениях, расположенных справа и слева от опоры в непосредственной близости от нее, т. в. величине уступа (скачка) в эпюре поперечных сил в сечении над опорой (рис. 90.7, б). Рассмотрим теперь неразрезную балку, показанную на рис. 91.7, а. Будем постепенно уменьшать левый пролет балки. В этом случае касательная к упругой линии, проведенная через шарнир левой опоры, в пределе (при Следовательно, расчет статически неопределимых (неразрезных) балок с защемленными концами можно производить при помощи уравнений трех моментов, рассматривая защемленный конец как дополнительный пролет длиной В заключение укажем порядок, в котором рекомендуется производить расчет неразрезных балок. 1. Составляется расчетная схема неразрезной балки; если какой-либо конец балки защемлен, то со стороны этого конца к балке добавляется пролет длиной, равной нулю. 2. Нумеруются (слева направо) опоры и пролеты неразрезной балки. 3. Для каждого пролета балки (как для простой балки на двух опорах) строится эпюра изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки. Рис. 91.7 4. Составляются уравнения трех моментов для каждой промежуточной опоры балки. 5. Путем совместного решения уравнений трех моментов определяются значения опорных моментов (в сечениях над всеми промежуточными опорами). 6. Для каждого пролета балки строятся эпюры Q и М как для однопролетной простой балки, загруженной заданной нагрузкой и опорными моментами. При этом можно использовать формулы (87.7) и (88.7). 7. По формуле (89.7) определяются опорные реакции неразрезной балки. Некоторые особенности имеет расчет неразрезной балки с консолями (см. ниже пример 18.7).
|
Оглавление
|