§ 9.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ СЛОЖНЫХ СЕЧЕНИЙ

Способ вычисления моментов инерции сложных сечений основан на том, что любой интеграл можно рассматривать как сумму интегралов и, следовательно, момент инерции любого сечения вычислять как сумму моментов инерции отдельных его частей.

Поэтому для вычисления моментов инерции сложное сечение разбивается на ряд простых частей (фигур) с таким расчетом, чтобы их геометрические характеристики можно было вычислить по известным формулам или найти по специальным справочным таблицам.

В ряде случаев при разбивке на простые фигуры для уменьшения числа или упрощения их формы сложное сечение целесообразно дополнять некоторыми площадями. Так, например, при определении геометрических характеристик сечения, показанного на рис. 22.5, а, его целесообразно дополнить до прямоугольника , а затем из геометрических характеристик этого прямоугольника вычесть характеристики добавленной части . Аналогично поступают и при наличии отверстий (рис. 22.5, б).

Рис. 22.5

После разбивки сложного сечения на простые части для каждой из них выбирается прямоугольная система координат, относительно которой надо определить моменты инерции соответствующей части. Все такие системы координат принимаются параллельными друг другу для того, чтобы затем путем параллельного переноса осей можно было подсчитать моменты инерции всех частей относительно системы координат, общей для всего сложного сечения.

Как правило, система координат для каждой простой фигуры принимается центральная, т. е. ее начало совпадает с центром тяжести этой фигуры. В этом случае последующий подсчет моментов инерции при переходе к другим параллельным осям упрощается, так как формулы перехода от центральных осей имеют более простой вид, чем от нецентральных.

Следующим этапом является вычисление площадей каждой простой фигуры, а также ее осевых и центробежного моментов инерции относительно осей выбранной для нее системы координат. Статические моменты относительно этих осей, как правило, равны нулю, так как для каждой из частей сечения эти оси обычно являются центральными. В случаях, когда это нецентральные оси, необходимо вычислять статические моменты.

Полярный момент инерции вычисляется только для круглого (сплошного или кольцевого) сечения по готовым формулам; для сечений других форм эта геометрическая характеристика не имеет какого-либо значения, так как при расчетах она не используется.

Осевые и центробежный моменты инерции каждой простой фигуры относительно осей ее системы координат подсчитываются по имеющимся для такой фигуры формулам или таблицам. Для некоторых фигур имеющиеся формулы и таблицы не позволяют определить необходимые осевые и центробежный моменты инерции; в этих случаях приходится пользоваться формулами перехода к новым осям (обычно для случая поворота осей).

В таблицах сортамента величины центробежных моментов инерции для уголков не указаны. Методика определения таких моментов инерции рассмотрена в примере 4.5.

В подавляющем большинстве случаев конечной целью вычисления геометрических характеристик сечения является определение его главных центральных моментов инерции и положения главных центральных осей инерции. Поэтому следующим этапом вычисления является определение координат центра тяжести заданного сечения [по формулам (6.5) и (7.5)] в некоторой произвольной (случайной) системе координат Через этот центр тяжести сечения проводятся вспомогательные (не главные) центральные оси параллельные осям системы координат простых фигур.

Затем с помощью формул, устанавливающих зависимости между моментами инерции для параллельных осей (см. § 5.5), определяются моменты инерции каждой простой фигуры относительно вспомогательных, центральных осей Путем суммирования моментов инерции каждой простой фигуры относительно осей определяются моменты инерции всего сложного сечения относительно этих осей; при этом моменты инерции отверстий или добавленных площадок вычитаются.

Угол характеризующий положение главных осей инерции, и величины главных моментов инерции вычисляются по формулам (36.5) и (38.5) или определяются графически — с помощью круга Мора (см. § 8.5). После вычисления величин рекомендуется проверить, соблюдается ли равенство — при этом следует иметь в виду, что соблюдение этого равенства не гарантирует правильности вычисления значений