§ 2.14. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДИМЫЕ К ЗАДАЧАМ СТАТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА СИСТЕМ

Рассмотрим балку постоянного сечения, подвешенную на тросе крана (рис. 1.14, а); эта балка изогнута в результате действия ее собственного веса. После включения двигателя крана сечение А балки, в котором к ней прикреплен трос, начинает подниматься с некоторым ускорением. При этом возникают силы инерции, распределенные по длине оси балки. Интенсивность их определяется формулой (3.14).

Рис. 1.14

На рис. 1.14, б показаны нагрузки, действующие на балку. Равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q представляет собой собственный вес балки, а нагрузка — инерционные силы. Сила (усилие в тросе) равна по величине равнодействующей нагрузок q и и направлена в противоположную сторону, т. е. уравновешивает эти нагрузки.

Инерционные силы возникают после включения двигателя крана и вызывают изгиб балки (дополнительно к изгибу от действия собственного веса q). В результате изгиба различные сечения балки перемещаются при подъеме с различными ускорениями я. Поэтому в общем случае интенсивность инерционной нагрузки переменна по длине балки.

В частных случаях, например когда жесткость балки при изгибе весьма велика или когда сечение , в котором балка прикреплена к тросу (рис. 1.14), поднимается на значительную высоту с постоянным ускорением, влиянием деформаций балки, вызванных инерционными силами на величины ускорений а можно пренебречь. В этих случаях можно считать, что ускорения всех сечений балки одинаковы и равны ускорению сечения , а нагрузка равномерно распределена по длине балки.

Аналогично и при решении ряда других динамических задач можно пренебрегать влиянием деформаций системы на распределение в ней ускорений, а следовательно, и на распределение инерционных сил. Такие задачи рассмотрены ниже.

В качестве первой задачи рассмотрим расчет вертикального бруса постоянного сечения, поднимаемого вверх силой S, превышающей вес бруса G (рис. 2.14, а). Кроме силы 5 на брус действуют равномерно распределенная по его длине вертикальная нагрузка интенсивностью от собственного веса бруса и инерционная нагрузка {рис. 2.14, б, в).

Рис. 2.14

Ускорение а направлено в сторону действия силы , т. е. вверх; величину его принимаем одинаковой для всех поперечных сечений бруса. Поэтому нагрузка равномерно распределена по длине бруса и направлена в сторону, противоположную ускорению, т. е. вниз.

Составляем уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось

откуда

Нормальное напряжение в поперечном сечении бруса, отстоящем на расстояние от его нижнего конца,

Наибольшее напряжение возникает в верхнем сечении бруса:

Рассмотрим теперь горизонтальный брус, поднимаемый вверх силой S, приложенной посередине бруса (рис. 3.14, а).

Рис. 3.14

Инерционная нагрузка определяется, как и в предыдущем случае, по формуле (4.14).

Интенсивность полной погонной нагрузки, состоящей из собственного веса q и инерционной нагрузки равна (рис. 3.14, б, в)

Сила 5 и нагрузка вызывают изгиб бруса. Эпюры изгибающих моментов М и поперечных сил Q показаны на рис. 3.14, г, д.

Учитывать влияние сил инерции приходится, в частности, при расчете сооружений, расположенных в местностях, подверженных землетрясениям. При землетрясении земная поверхность и части сооружений, закрепленные в грунте, перемещаются с некоторыми ускорениями, в результате чего сооружения испытывают действие сил инерции. На эти силы должен быть произведен расчет сооружений. Расчетная величина наибольшего ускорения движения земной поверхности устанавливается специальными техническими условиями в зависимости от силы землетрясения (характеризуемой в баллах); эта величина может достигать и более.

Составим выражение изгибающих моментов в поперечных сечениях высокой фабричной трубы (рис. 4.14, а), вызванных инерционными силами, возникающими при землетрясении в результате горизонтального перемещения поверхности с ускорением а.

Пренебрегая деформациями трубы, вызванными этими силами, принимаем горизонтальные ускорения всех точек трубы одинаковыми и равными я.

Площадь поперечного сечения трубы на расстоянии от ее верхнего конца

Инерционные силы направлены обратно ускорениям а и, следовательно, горизонтальны. Интенсивность их на расстоянии от верха трубы, отнесенная к единице длины трубы [см. формулу (3.14)],

Эпюра инерционных сил - показана на рис. 4.14, б. Она может рассматриваться состоящей из прямоугольника, треугольника и квадратной параболы.

Рис. 4.14

Изгибающий момент М в сечении вызванный силами инерции (см. рис. 4.14, б),

Теперь рассмотрим горизонтальный стержень АВ постоянного сечения F длиной (рис. 5.14, а), равномерно вращающийся вокруг вертикальной оси

При равномерном вращении ускорения частиц стержня, расположенных на расстоянии от оси вращения (центростремительные ускорения), направлены к этой оси и, как известно из курса теоретической механики, определяются по формуле

где - угловая скорость.

Инерционные силы (центробежные силы) направлены по радиусам от оси вращения. Интенсивность их, отнесенная к единице длины стержня [см. формулы (3.14) и (5.14)],

Эпюра показана на рис. 5.14, б.

Рис. 5.14

Формулу (6.14) можно использовать при определении сил инерции, действующих на стержневые системы, вращающиеся вокруг какой-либо оси.

Силы инерций вызывают растяжение рассматриваемого стержня. Продольная сйла N в сечении стержня, расположенном на расстоянии от оси вращения, равна площади эпюры на участке от этого сечения до конца стержня:

Наибольшее значение продольная сила имеет посередине стержня, т. е. при

Эпюра продольных сил в стержне показана на рис. 5.14, в.