§ 9.7. ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПРЯМОМ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ

Вырежем из балки в окрестности некоторой точки элементарный параллелепипед 1-2-3-4 (рис. 45.7, а) боковые грани которого 1-2 и 3-4 расположены в поперечных сечениях балки, а боковые грани 2-3 и 1-4 параллельны нейтральному слою. Длина параллелепипеда (в направлении, перпендикулярном к чертежу) равна ширине балки. Напряжения, действующие по граням параллелепипеда, рассмотрены в § 7.7 и 8.7; они показаны на рис. 45.7,б. По граням 1-2 и 3-4 действуют нормальные напряжения а и касательные напряжения , а по граням 2-3 и 1-4 - только касательные напряжения . Направления этих напряжений, показанные на рис. 45.7, б, соответствуют случаю, когда в поперечных сечениях рассматриваемого участка балки действуют положительные изгибающий момент и поперечная сила.

Рис. 45.7

Величины напряжений определяются формулами (17.7) и (28.7).

Передняя и задняя грани элементарного параллелепипеда совпадают с боковыми поверхностями балки, свободными от нагрузки, а потому по этим граням напряжения равны нулю. Следовательно, параллелепипед находится в условиях плоского напряженного состояния.

В площадках, наклоненных под различными углами к боковым граням элементарного параллелепипеда, действуют нормальные и касательные напряжения, величины которых можно определить по формулам (6.3) и (7.3). Имеются две взаимно перпендикулярные площадки, по которым касательные напряжения равны нулю. Эти площадки, как известно, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие в них, - главными напряжениями (см. § 3.3). В площадках, наклоненных под углами в 45° к главным площадкам, действуют экстремальные касательные напряжения; эти площадки называются площадками сдвига (см § 4.3).

Определение главных нормальных и экстремальных касательных напряжений в общем случае плоского напряженного состояния производится, как известно, по формулам (12.3) и (15.3):

Подставим в эти формулы значения

Здесь — нормальное и касательное напряжения в рассматриваемой точке, действующие по площадке, совпадающей с поперечным сечением балки, и определяемые по формулам (17.7) и (28.7).

Из формулы (32.7) видно, что напряжение отах всегда положительно, a всегда отрицательно. Поэтому в соответствии с правилом, согласно которому напряжение отах следует обозначить а напряжение обозначить Промежуточное главное напряжение возникает в главных площадках, параллельных плоскости чертежа (рис. 45.7).

Угол наклона главных площадок к боковым граням элементарного параллелепипеда можно определить способом, указанным в § 3.3.

Величины главных нормальных и экстремальных касательных напряжений и положения площадок, в которых они действуют, можно определить и с помощью круга Мора (см. § 5.3).

Рассмотрим теперь более подробно напряженное состояние в точках прямоугольного поперечного сечения балки. Предположим, что, изгибающий момент М и поперечная сила Q в этом сечении положительны.

В поперечном сечении в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения а равны (в точке а на рис. 46.7, а) и (в точке а на рис. 46.7, а). Следовательно, для каждой из этих точек одна из главных площадок совпадает с поперечным сечением балки, а две другие перпендикулярны к поперечному сечению (нормальные напряжения в них равны нулю). В этих точках имеется одноосное напряженное состояние.

На рис. 46.7, а показаны элементарные параллелепипеды, боковые грани которых параллельны двум главным площадкам; третья главная площадка параллельна плоскости чертежа. Экстремальные касательные напряжения в точках а к а определяются по формуле

В поперечном сечении в точках, расположенных на нейтральной оси (точка b на рис. 46.7, а), нормальное напряжение о равно нулю, а касательное напряжение . В этих точках напряженное состояние представляет собой чистый сдвиг с экстремальными касательными напряжениями

Две главные площадки в каждой из этих точек наклонены под углами ±45° к оси балки (см. рис. 46.7, а), а главные напряжении в них .

Третья главная площадка параллельна плоскости чертежа; напряжения в ней равны нулю.

В поперечном сечении в остальных точках напряжения а и отличны от нуля. На разных расстояниях от нейтральной оси соотношения между величинами а и различны, а потому различны и углы наклона главных площадок к оси балки. В каждой из этих точек не равные нулю главные напряжения имеют противоположные знаки, т. е. напряженное состояние представляет собой одновременно растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям.

Рис. 46.7

Определив величины главных напряжений для ряда точек, расположенных в одном поперечном сечении балки на различных расстояниях от нейтральной оси, можно затем по этим величинам построить эпюры главных напряжений. Эти эпюры характеризуют изменение главных напряжений по высоте балки.

Аналогично можно вычислить значения экстремальных касательных напряжений и построить эпюры этих напряжений. На рис. 46.7, б для прямоугольного поперечного сечения балки, в котором действуют положительные изгибающий момент М и поперечная сила Q, показаны эпюры напряжений , возникающих в площадках, совпадающих с поперечным сечением, эпюры главных напряжений и и экстремальных касательных напряжений .

Определим для какой-либо точки балки направление одного из главных напряжений, а затем возьмем на этом направлении вторую точку, достаточно близкую к первой. Найдя направление главного напряжения для второй точки, аналогичным способом отметим третью точку и т. д.

Соединив найденные таким путем точки, получим так называемую траекторию главных напряжений. Через каждую точку проходят две такие траектории, перпендикулярные друг к другу; одна из них представляет собой траекторию главных растягивающих напряжений, а другая — главных сжимающих. Траектории главных растягивающих напряжений образуют одно семейство кривых, а траектории главных сжимающих напряжений — другое семейство. Касательная к траектории в любой ее точке дает направление соответствующего (растягивающего или сжимающего) главного напряжения в этой точке.

Рис. 47.7

На рис. 47.7 показана часть фасада некоторой балки с нанесенными траекториями главных напряжений. Все они пересекают ось балки под углами ±45° и подходят к верхней и нижней граням балки под углами 0 и 90°; это соответствует направлениям главных площадок (и главных напряжений), показанным на рис. 46.7, а.