§ 3.9. ЯДРО СЕЧЕНИЯ

Некоторые материалы (бетон, кирпичная кладка) могут воспринимать лишь весьма незначительные растягивающие напряжения, а другие (например, грунт) не могут вовсе сопротивляться растяжению. Такие материалы используются для изготовления лишь элементов конструкций, в которых не возникают растягивающие напряжения. Поэтому они не применяются для изготовления элементов конструкций, испытывающих изгиб, кручение, центральное и внецентренное растяжение.

В центрально сжатых элементах растягивающие напряжения не возникают, а потому они могут изготовляться из указанных материалов. Из таких материалов могут изготовляться и внецентренно сжатые элементы, если в них не возникают растягивающие напряжения. Это происходит в случае, когда точка приложения сжимающей силы расположена внутри некоторой центральной области поперечного сечения, называемой ядром, или на границе этой области.

Ядром сечения называется его некоторая центральная область, обладающая тем свойством, что сжимающая сила, приложенная в любой ее точке, вызывает во всех точках поперечного сечения бруса сжимающие напряжения, т. е. напряжения одного знака.

Если сила приложена за пределами ядра сечения, то в поперечном сечении возникают и сжимающие, и растягивающие напряжения. В этом случае, следовательно, нулевая линия пересекает поперечное сечение бруса. Если сила приложена на границе ядра сечения, то нулевая линия касается контура сечения (в точке или по линии); в месте касания нормальные напряжения равны нулю.

При расчете внецентренно сжатых элементов, изготовляемых из материала, плохо воспринимающего растягивающие напряжения, важно знать форму и размеры ядра сечения. Это позволяет, не вычисляя величин напряжений, по эксцентриситету сжимающей силы устанавливать, возникнут в поперечном сечении растягивающие напряжения или нет.

Рассмотрим методику построения ядра сечения.

На рис. 17.9 изображено поперечное сечение бруса, показаны главные оси этого сечения и полюс А, в котором приложена сжимающая сила. Нулевая линия при этом занимает положение Координаты полюса А и координаты произвольной точки С нейтральной оси (нулевой линии) удовлетворяют уравнению [см. формулу (15.9)]

В это уравнение входят произведения координат точки А (полюса), в которой приложена сжимающая сила, и точки С, в которой от этой силы нормальные напряжения равны нулю.

Рис. 17.9

Рис. 18.9

Из уравнения видно, что если точку С принять за полюс, то нормальные напряжения в точке А будут равны нулю; в этом случае, следовательно, нулевая линия пройдет через точку А.

Аналогично при любых других положениях полюса на прямой (рис. 17.9) нулевая линия пройдет через точку А. Каждому положению полюса соответствует определенная нулевая линия, а потому разным его положениям на прямой соответствуют разные нулевые линии, проходящие через точку А. Следовательно, при перемещении полюса по прямой нулевые линии вращаются вокруг точки А.

Рассмотрим теперь поперечное сечение в виде многоугольника, изображенного на рис. 18.9. Установим положение прямой по которой нужно перемещать полюс, для того чтобы нулевые линии вращались вокруг вершины многоугольника. Для этого, очевидно, надо условно точку принять за полюс и найти соответствующую ему нулевую линию агаг по формулам (16.9). Аналогичным путем установим положения прямых при перемещении полюса по которым нулевые линии вращаются соответственно вокруг вершин

Рассмотрим точку пересечения прямых и Эта точка принадлежит одновременно прямым а и а потому при полюсе в этой точке нулевая линия одновременно проходит через вершины многоугольника, т. е. касается его стороны .

Аналогично при полюсе в точке нулевая линия касается стороны многоугольника. При перемещении полюса по прямой от точки до точки нулевая линия поворачивается вокруг точки по часовой стрелке, занимая различные положения от до

Таким образом, при перемещении полюса по контуру нулевые линии вращаются поочередно вокруг вершин многоугольника, не пересекая при этом поперечного сечения.

Рис. 19.9

Из формулы (16.9) следует, что с приближением полюса к центру тяжести сечения нулевые линии удаляются от него. Поэтому при полюсе, расположенном внутри контура нулевые линии не пересекают поперечного сечения. Следовательно, контур представляет собой ядро рассматриваемого сечения.

Построение ядра сечения рекомендуется производить в следующем порядке.

1. Определить положения центра тяжести сечения и главных центральных осей инерции у и , а также значения главных моментов инерции и квадратов радиусов инерции

2. Если сечение имеет вид многоугольника, то вершины его углов последовательно рассматривать как полюсы и для каждого такого полюса определять положение нулевой линии. Контур, ограниченный этими нулевыми линиями, образует ядро сечения.

3. Если многоугольное сечение имеет внутренние углы, например угол при вершине В (рис. 19.9), то эти углы при обходе вершин не рассматривают как полюсы; нулевая линия не может проходить через вершину В при полюсе, расположенном в пределах ядра, так как она при этом пересекла бы сечение.

Построим ядро сечения для прямоугольника (рис. 20.9). Примем в качестве полюса вершину прямоугольника (с координатами ). По формулам (16.9) найдем отрезки, отсекаемые соответствующей этому полюсу нулевой линией на осях координат:

По значениям этих отрезков на рис. 20.9 построена нулевая линия

Учитывая симметрию прямоугольного сечения относительно осей у и , строим на рис. 20.9 нулевые линии при полюсе, расположенном соответственно в вершинах Построенные нулевые линии образуют ядро сечения, заштрихованное на рис. 20.9. Оно имеет форму ромба с диагоналями, равными

При построении ядра для сечения в виде круга (рис. 21.9) достаточно определить положение нулевой линии, соответствующее одному положению полюса.

Рис. 20.9

Рис. 21.9

При полюсе в точке А, (с координатами ) определяем отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат:

Построенная по этим данным нулевая линия показана на рис. 21.9.

Из симметрии сечения относительно его центра тяжести следует, что при других положениях полюса на окружности диаметром d нулевые линии касаются концентрического с ней круга с меньшим диаметром, равным Этот круг меньшего диаметра и представляет собой ядро сечения круга диаметром d, заштрихованное на рис. 21.9.