§ 3.10. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ БРУСА БОЛЬШОЙ КРИВИЗНЫ

Выведем формулы для определения нормальных напряжений в брусьях большой кривизны.

При выводе этих формул предполагается, что:

1) кривой брус является плоским (т. е. ось его представляет собой плоскую кривую);

2) брус симметричен относительно плоскости, в которой расположена его ось, а внешние силы действуют в этой плоскости;

3) поперечные сечения бруса, плоские до его деформации, остаются плоскими и после деформации (гипотеза плоских сечений);

4) давление продольных волокон бруса друг на друга не влияет существенно на распределение напряжений в брусе, а потому его можно не учитывать.

Рассмотрим случай чистого изгиба кривого бруса.

Обозначим радиус оси кривого бруса, т. е. оси, представляющей собой геометрическое место центров тяжести его поперечных сечений. Выделим из бруса двумя плоскостями, перпендикулярными его оси (следовательно, проходящими через центр кривизны) и наклоненными друг к другу под углом бесконечно малый элемент 1-2-3-4 (рис. 4.10).

В результате деформации изгиба поперечное сечение 1-2 бруса поворачивается относительно сечения 3-4 на угол и занимает положение 1-2. Длина волокна 0—0, проходящего через точку 0 пересечения прямых 1-2 и при деформации не изменяется, и, следовательно, это волокно расположено в нейтральном слое стержня. Волокно (с радиусом кривизны и длиной ) в «результате деформации удлиняется на величину равную где - расстояние от этого волокна до нейтрального слоя (рис. 4.10);

относительное удлинение волокна

На основании закона Гука нормальные напряжения в волокне

Выделим элемент площади F поперечного сечения 1-2 кривого бруса. Элементарная сила, приходящаяся на этот элемент, равна (рис. 5.10) и направлена перпендикулярно поперечному сечению.

Рис. 4.10

Рис. 5.10

Составим уравнение равновесия элемента 1-2-3-4 кривого бруса (рис. 5.10) в виде суммы проекций сил на ось

откуда на основании выражения (4.10)

Так как

то

Если бы при изгибе кривого бруса нейтральная ось проходила через центр тяжести поперечного сечения, то был бы равен нулю статический момент площади сечения относительно этой оси, т. е. интеграл равенство же нулю интеграла J — показывает, что нейтральная ось кривого бруса не проходит через центр тяжести поперечного сечения. Она всегда расположена ближе к центру кривизны, чем центр тяжести поперечного сечения.

Обозначим радиус кривизны нейтрального слоя. Заменим в последнем уравнении расстояние выражением

откуда

Расстояние с от нейтрального слоя до центра тяжести поперечного сечения бруса равно

Составим теперь уравнение равновесия элемента 1-2-3-4 кривого бруса в виде суммы моментов относительно нейтральной оси:

или на основании выражения (4.10)

здесь М — изгибающий момент в поперечном сечении бруса. Преобразуем полученное уравнение, используя зависимость

Выше доказано, что интеграл равен нулю; следовательно,

где представляет собой статический момент S поперечного сечения кривого бруса относительно нейтральной оси и, следовательно, равен произведению площади F на расстояние с от центра тяжести сечения до нейтральной оси.

Таким образом,

Поэтому

откуда

Подставив найденное выражение в формулу (4.10), получим в

Формула (7.10) служит для определения нормальных напряжений в поперечных сечениях кривого бруса не только при чистом изгибе, но и при поперечном изгибе, т. е. и при

Рис. 6.10

Эпюра нормальных напряжений при изгибе, построенная на основе формулы (7.10), изображена на рис. 6.10. На эпюре видно, что с изменением расстояния напряжения а изменяются по гиперболе Асимптотами гиперболы являются две прямые: одна из них перпендикулярна сечению и проходит через центр кривизны стержня, а другая параллельна оси эпюры и отстоит от нее на расстоянии При напряжения равны нулю. Продольная сила N, приложенная в центре тяжести поперечного сечения кривого бруса, вызывает, как и в прямом брусе, во всех точках сечения одинаковые нормальные напряжения Поэтому при действии в поперечном сечении кривого бруса продольной силы и изгибающего момента, а также и поперечной силы нормальные напряжения определяются по формуле

Следует иметь в виду, что в этой формуле - радиус кривизны слоя, который был бы нейтральным при действии только момента М (т. е. при ) при действии также и продольной силы этот слой не является нейтральным.

Определение нормальных напряжений в поперечном сечении кривого бруса производится в следующем порядке:

1) определяются продольная сила в сечении и изгибающий момент относительно оси , проходящей через центр тяжести поперечного сечения;

2) по формулам (5.10) и (6.10) или с помощью специальных таблиц определяется радиус нейтрального слоя (при а также расстояние с между центром тяжести сечения и нейтральной осью;

3) по формуле (8.10) вычисляются нормальные напряжения в различных точках поперечного сечения. Знак напряжений от действия продольной силы N совпадает со знаком продольной силы; знак же напряжений о от изгибающего момента М легко устанавливается в каждом конкретном случае в зависимости от направления изгибающего момента.

Следует иметь в виду, что изгибающий момент М представляет собой момент относительно оси, проходящей через центр тяжести поперечного сечения перпендикулярно плоскости крйвйзны бруса.