§ 5.2. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВ

Определим вертикальное продольное перемещение точки а оси бруса, растянутого силой Р, изображенного на рис. 19.2. Оно равно абсолютной деформации части бруса заключенной между заделкой и сечением, проведенным через точку а, т. е.

Продольная деформация бруса определяется по формуле (13.2): . Эта формула применима, лишь когда в пределах всего участка длиной l продольные силы N и жесткости EF поперечных сечений бруса постоянны. В рассматриваемом случае на участке продольная сила N равна нулю (собственный вес бруса не учитываем), а на участке она равна Р; кроме того, площадь поперечного сечения бруса на участке отличается от площади сечения на участке Поэтому продольную деформацию участка следует определять как сумму продольных деформаций трех участков для каждого из которых значения N и EF постоянны по всей его длине:

Продольные силы на рассматриваемых участках бруса

Следовательно, по формуле (13.2)

Рис. 19.2

Аналогично можно определить перемещения б любых точек оси бруса, а по их значениям построить эпюру продольных перемещений (эпюру 6), т. е. график, изображающий изменение этих перемещений по длине оси бруса. Построение эпюр б приведено ниже в примерах расчета 1.2 и 11.2.

Продольные перемещения точек оси равны продольным перемещениям проходящих через эти точки поперечных сечений бруса.

При продольной нагрузке, распределенной по длине оси бруса, продольная сила N в поперечных сечениях его непрерывно изменяется. В этих случаях, а также в случае, когда жесткость EF бруса переменна по длине его оси, для определения продольной деформации по формуле (13.2) необходимо рассматривать брус, состоящий из бесчисленного множества бесконечно малых участков длиной . Продольная деформация каждого такого участка определяется выражением а полпая деформация участка бруса длиной

Пример построения эпюры для такого случая рассмотрен в § 7.2.

Рассмотрим теперь шарнирно-стержневую систему, состоящую из двух стержней, шарнирно закрепленных в верхних концах А и В и соединенных общим шарниром в точке С (рис. 20.2, а).

Шарниры А, В и С предполагаются идеальными, т. е. такими, трение в которых отсутствует.

Поэтому от шарниров стержням и от стержней шарнирам могут передаваться только силы и не могут передаваться моменты.

Таким образом, каждый из стержней находится в равновесии под действием двух сил, приложенных к нему по концам (в шарнирах). Следовательно, эти силы направлены вдоль оси стержня, т. е. в поперечных сечениях стержней возникает только один внутренний силовой фактор — продольная сила.

Вырезав узел С (рис. 20.2, б) и составив два уравнения равновесия приложенных к нему сил , найдем продольные силы в в стержнях. Для плоской системы сил, пересекающихся в одной точке, как известно из курса теоретической механики, можно составить только два независимых уравнения равновесия — в виде сумм проекций всех сил на две оси, не параллельные друг другу. В качестве таких осей выберем оси х и у (рис. 20.2, б). Тогда уравнения равновесия представятся в виде

В результате решения этих уравнений определяются значения

Рис. 20.2

Заметим, что вследствие малости деформаций при составлении уравнений равновесия не учитывается изменение углов между стержнями, вызванное деформацией системы.

По найденным значениям продольных сил и заданным размерам поперечных сечений стержней с помощью формулы (13.2) легко определить продольные деформации МАС и стержней АС и ВС. Покажем, как по величинам этих деформаций можно определить вызванное силами перемещение СС шарнира С. Для этого разложим перемещение СС на два составляющих его перемещения и v, параллельных осям х и у соответственно (рис. 20.2, в). Очевидно, что удлинение (или укорочение) стержня АС (или ВС) можно найти по перемещению его конца С. Для этого надо спроектировать это перемещение (или составляющие, на которые оно разложено) на ось стержня.

Поэтому

Из этих уравнений можно определить значения и ни, так как значения углов а также величины продольных деформаций уже известны. Затем можно найти перемещение шарнира С: