§ 5.12. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПОПЕРЕЧНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ

После того как путем решения системы канонических уравнений найдены неизвестные усилия эти усилия и заданную нагрузку можно приложить к основной системе. Затем от их совместного действия обычным способом (как для статически определимых систем) можно определить поперечные силы Q и продольные силы N, возникающие в основной системе, и построить эпюры Q и N. Эти эпюры являются эпюрами поперечных и продольных сил и для заданной статически неопределимой системы.

Поперечные и продольные силы в статически неопределимой системе можно определить и иным путем — по эпюре изгибающих моментов, построенной для этой системы. Для получения необходимых формул рассмотрим прямолинейный элемент АВ длиной выделенный из статически неопределимой системы. На такой элемент в самом общем случае действуют следующие нагрузки (рис. 13.12, а):

а) заданная нагрузка;

б) изгибающие моменты МАВ и МЯА, возникающие в поперечных сечениях А и В элемента АВ, значения которых устанавливаются по эпюре изгибающих моментов;

в) поперечные силы и продольные силы возникающие в поперечных сечениях А и В элемента АВ.

Первый индекс при усилиях соответствует положению того сечения, в котором действует усилие, а оба индекса в месте — элементу рамы, которому это сечение принадлежит. Так, например,

МАВ означает изгибающий момент в сечении А элемента АВ.

Так как элемент А В находится в равновесии, то силы и NRA можно рассматривать как опорные реакции RA, RB и Н соответственно простой балки на двух опорах, изображенной на рис. 13.12, б.

Следовательно, внутренние усилия в поперечных сечениях с абсциссой элемента АВ рамы (рис. 13.12, а) и балки АВ (рис. 13.12, б) одинаковы. Поэтому на основании принципа независимости действия сил изгибающий момент М в сечении элемента АВ равен сумме моментов, возникающих в том же сечении балки АВ от нагрузок, показанных на рис. 13.12, в, г:

Здесь — изгибающий момент в сечении .v простой балки от заданной нагрузки (рис. 13.12, в); — изгибающий момент в сечении простой балки от моментов МАВ и МВА (рис. 13.12, г).

Рис. 13.12

На основании теоремы Журавского [формула (6.7)], продифференцировав выражение (8.12), получим

или

Здесь поперечная сила в сечении простой балки от заданной нагрузки (рис. 13.12, в).

Формулы (8.12) и (9.12) позволяют определить изгибающие моменты и поперечные силы в любом сечении любого прямолинейного участка АВ рамы, если известны изгибающие моменты в сечениях А и В и заданная нагрузка, приложенная в пределах этого участка.

Если ординаты эпюры М отложены со стороны сжатого волокна каждого элемента рамы, то для выяснения знака поперечной силы в сечениях этих элементов можно использовать следующее правило: поперечная сила положительна, если для совмещения касательной (к эпюре изгибающих моментов) с осью элемента необходимо вращать касательную по часовой стрелке; при этом вращение всегда производится так, что угол поворота не превышает 90°. Числовое значение поперечной силы пропорционально тангенсу угла поворота.

Для определения направления поперечной силы необходимо провести разрез через данное сечение элемента и к каждой части такого элемента в разрезе приложить поперечную силу; при этом если поперечная сила положительна, то она должна вращать каждую часть элемента относительно другого ее конца по часовой стрелке.

Для определения величин продольных сил N можно вырезать узлы рамы, приложить к ним действующую на них внешнюю нагрузку, а также неизвестные продольные и найденные поперечные силы и затем составить для этих узлов уравнения равновесия, из которых и определить продольные силы. Для этого можно использовать и прием, указанный в начале настоящего параграфа.

Построим в качестве примера эпюры Q и N для рамы, рассчитанной в § 3.12. На рис. 14.12, а показана заданная рама, на рис. 14.12,б - основная система с действующей на нее заданной нагрузкой и найденными неизвестными усилиями, а на рис. 14.12, в — окончательная эпюра изгибающих моментов в раме.

Составим выражения поперечных и продольных сил в сечениях стойки и ригеля рамы (рис. 14.12,б):

б) в сечении

Эпюры Q и N, построенные по найденным значениями этих сил, изображены на рис. 14.12, г, д.

Определим теперь те же значения другим способом. По формуле (9.12) и окончательной эпюре М (рис. 14.12, в) находим:

в сечении 1-1 (рис. 14.12,б)

а в сечении II-II

Эти выражения совпадают с выражениями, полученными выше другим способом.

Рис. 14.12

Используем теперь построенную эпюру Q (рис. 14.12, г) для определения продольных сил в стойке и ригеле рамы. Вырежем из рамы верхний левый узел и приложим к нему известные поперечные и неизвестные продольные силы (рис. 14.12, е). Из условий равновесия в виде сумм проекций этих сил на горизонтальную и вертикальную оси находим:

Полученные значения продольных сил совпадают со значениями, найденными выше другим способом. Знаки минус указывают на то, что силы имеют направления, противоположные направлениям, показанным на рис. 14.12, е, т. е. они вызывают не растяжение элементов, а их сжатие.