§ 4.12. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ

Симметричной называется такая система, у которой не только ее геометрическая схема (образованная осями стержней) имеет ось симметрии, но и жесткости симметрично расположенных элементов равны друг другу. Использование симметрии системы позволяет (часто весьма значительно) упростить ее расчет.

Рассмотрим три раза статически неопределимую симметричную раму, изображенную на рис. 10.12, а. При расчете ее с помощью основной системы, показанной на рис. 10.12,б, необходимо составить и решить три канонических уравнения с тремя неизвестными:

Если при расчете рассматриваемой рамы (рис. 10.12, а) в качестве основной принять, например, систему, изображенную на рис. 11.12, а, то эпюры и от симметричных единичных неизвестных будут симметричными (рис. 11.12,б, в), а эпюра от кососимметричных единичных неизвестных — кососимметричной (рис. 11.12, г).

Рис. 10.12

Результат умножения симметричной эпюры на кососимметричную равен нулю. Так, например, умножив эпюру (рис. 11.12,б) на эпюру (рис. 11.12, г), для левой половины рамы получим а для правой половины следовательно, перемещение 6,3 равпо

Аналогично для рассматриваемой рамы равны нулю все побочные перемещения, определяемые путем умножения симметричной эпюры на кососимметрнчную, а именно: 6,3, 623, 83, и 632.

В результате этого система канонических уравнений (5.12) принимает вид

т. е. система (5.12) распадается на две независимые системы уравнений.

Первая из этих систем (симметричная) содержит два симметричных неизвестных и состоит из двух уравнений, а вторая (кососимметричная) содержит одно кососимметричное неизвестное и состоит из одного уравнения.

Таким образом, использование симметрии при выборе основной системы позволяет решение полной системы канонических уравнений заменить решением двух независимых систем. Это значительно сокращает объем вычислений (особенно при большом числе неизвестных).

При действии симметричной или кососимметричной нагрузки на симметричное сооружение можно выбрать такую основную систему, что не только каждая единичная эпюра, но и грузовая будет или симметрична, или кососимметрична. Вследствие этого не только ряд побочных перемещений, но и некоторые свободные члены (грузовые перемещения) системы канонических уравнений окажутся равными нулю.

Рис. 11.12

Если, например, на рассмотренную выше раму (рис. 10.12, а) действует кососимметричиая нагрузка (рис. 12.12, а), то при основной системе, показанной на рис. 12.12, б, эпюра имеет вид, изображенный на рис. 12.12, в, т. е. она кососимметрична. Поэтому грузовые перемещения определяемые путем перемножения кососимметричной эпюры (рис. 12.12, в) с симметричными единичными эпюрами (рис. 11.12, б, в), равны нулю. Поэтому система канонических уравнений (6.12), содержащая симметричные неизвестные, принимает вид

Отсутствие в этой системе свободных членов указывает на равенство нулю симметричных неизвестных Поэтому при расчете заданной рамы на кососимметричную нагрузку достаточно составить и решить лишь уравнение (7.12) с одним неизвестным.

Если бы на рассматриваемую раму действовала симметричная нагрузка, то, очевидно, были бы равны нулю кососимметричные неизвестные.

Таким образом, расчет симметричного сооружения упрощается, если все неизвестные усилия делятся на две группы: симметричные и кососимметричные.

Первые из них дают симметричные эпюры, а вторые — кососимметричные. При действии на такое сооружение симметричной нагрузки кососимметричные неизвестные равны нулю, а при действии кососимметричной нагрузки симметричные неизвестные равны нулю.

Рис. 12.12