§ 6.5. ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ

Предположим, что известны моменты инерции сечения относительно осей у и z старой системы координат с началом в точке О (рис. 19.5).

Рис. 19.5

Возьмем новую систему координат ухгг с началом в той же точке О, но повернутую на некоторый угол а относительно старой. Будем считать угол а положительным, если старую систему координат для перехода к новой надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.

Рассмотрим элементарную площадку с координатами у и в старой системе координат Определим координаты и этой площадки в новой системе координат.

Из рис. 19.5 следует:

Подставим эти значения координат в выражение осевого момента инерции относительно оси

или

(31.5)

так как

Аналогично

или

Если сложить величины моментов инерции относительно осей то

Следовательно, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей сохраняет постоянную величину при повороте осей на любой угол.

Этот результат объясняется также тем, что сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно начала координат [см. формулу (11.5)]; величина же полярного момента инерции не изменяется, если начало координат остается на месте, а координатные оси поворачиваются.

Определим теперь величину центробежного момента инерции относительно осей

или