§ 6.1. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ НАУКИ О СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

При исследовании прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкций в сопротивлении материалов используют ряд предпосылок (допущений), упрощающих расчеты. Эти предпосылки, как показывают эксперименты, а также исследования, проведенные более строгими методами теории упругости, можно использовать при решении большинства задач, рассматриваемых в сопротивлении материалов. В некоторых случаях, специально оговариваемых, часть допущений использовать нельзя, так как это дало бы неправильные результаты.

Основные предпосылки в сопротивлении материалов следующие.

1. Материал конструкции является однородным и сплошным, т. е. его свойства не зависят от формы и размеров тела и одинаковы во всех его точках.

Это положение позволяет не учитывать дискретную, атомистическую структуру вещества и тем более движение отдельных молекул, составляющих тело. Оно применяется даже при расчете конструкций из такого неоднородного материала, как бетон, состоящего из щебня, связанного цементным раствором. Это можно делать потому, что размеры отдельных частиц материала невелики по сравнению с размерами сечений элементов конструкции.

Данная предпосылка позволяет, рассматривая при теоретическом анализе бесконечно малый элемент конструкции, наделять его свойствами, которыми обладает объем тела реальных размеров.

2. Материал конструкции изотропен, т. е. свойства его по всем направлениям одинаковы.

Эта предпосылка используется при решении большинства задач сопротивления материалов, хотя для некоторых материалов она весьма условна (например, для дерева, свойства которого в направлениях вдоль и поперек волокон различны). Такие материалы, свойства которых в различных направлениях различны, называются анизотропными. При решении некоторых задач необходимо учитывать различные свойства материала в различных направлениях, т. е. его анизотропию.

3. Материал конструкции обладает свойством идеальной упругости, т. е. способностью полностью восстанавливать первоначальные форму и размеры тела после устранения причин, вызвавших его деформацию. Деформация идеально упругого тела в каждый момент времени зависит только от нагрузок, действующих в этот момент на тело, и не зависит от того, в какой последовательности нагрузки приложены.

Эта предпосылка справедлива лишь при напряжениях, не превышающих для данного материала определенной, постоянной величины, называемой пределом упругости. При напряжениях, превышающих предел упругости, в материале возникают или пластические (остаточные) деформации, не исчезающие после снятия нагрузка, или упруго-пластические — частично исчезающие.

Предпосылка об идеальной упругости материала используется при решении большинства задач сопротивления материалов.

4. Деформации материала конструкции в каждой его точке прямо пропорциональны напряжениям в этой точке.

Данная предпосылка, впервые сформулированная Р. Гуком, называется законом Гука.

Закон Гука справедлив для большинства материалов, но для каждого из них лишь при напряжениях, не превышающих некоторой величины (предела пропорциональности). Этот закон используется при решении большинства задач сопротивления материалов.

5. Деформации конструкции предполагаются настолько малыми, что можно не учитывать их влияния на взаимное расположение нагрузок и на расстояния от нагрузок до любых точек конструкции.

Вопрос о возможности применения этой предпосылки решается в каждом отдельном случае с учетом не только вида конструкции, но также характера и величины действующей на нее нагрузки. Так, например, при расчете балки, изображенной на рис. 11.1, а, можно не учитывать ее деформации (при определении усилий в ней), если прогиб (дельта) значительно меньше высоты h поперечного сечения. При расчете же балки, показанной на рис. 11.1, б, ее деформацию можно не учитывать даже тогда, когда прогиб больше высоты Н, при условии, что он невелик по сравнению с длиной бруса I.

6. Результат воздействия на конструкцию системы нагрузок равен сумме результатов воздействия каждой нагрузки в отдельности.

Это положение носит название принципа независимости действия сил. Его часто называют также принципом наложения. Он применим в тех случаях, когда могут быть использованы закон Гука (см. выше — п. 4) и предпосылка о малости деформаций (см. п. 5), так как является их следствием.

Рис. 11.1

Рис. 12.1

Из принципа наложения следует, что перемещения точек конструкции и напряжения в ней прямо пропорциональны величине нагрузки.

Рассмотрим брус, изображенный на рис. 12.1 , а, нагруженный силой Р, моментом и равномерно распределенной нагрузкой q. Из принципа независимости действия сил следует, что, например, прогиб б конца бруса от нагрузок , равен сумме прогибов (рис. 12.1, б, в, г) от действия каждой нагрузки в отдельности, т. е.

Аналогично можно найти прогибы любых других точек бруса, внутренние усилия в его поперечных сечениях и напряжения.

Принцип независимости действия сил не распространяется на работу внешних и внутренних сил и на потенциальную энергию (см. § 6.2).

7. Поперечные сечения бруса, плоские до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и при действии нагрузки.

Эта предпосылка называется гипотезой плоских сечений, или гипотезой Бернулли. Она играет исключительно важную роль в сопротивлении материалов и используется при выводе большинства формул для расчета брусьев.