§ 2.10. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ

Для внутренних усилий М, Q и N, действующих в поперечных сечениях кривого бруса, сохраняется правило знаков, принятое для прямых брусьев.

Построение эпюр внутренних усилий рассмотрим на конкретном примере плоской круговой балки (т. е. балки с осью, очерченной по дуге окружности), изображенной на рис. 3.10, а.

Для определения опорных реакций составим уравнения равновесия:

откуда

откуда

откуда

В этих выражениях величины представляют собой соответственно вертикальную и горизонтальную составляющие силы Р; ось горизонтальна.

Определяем значения радиуса оси балки и центрального угла Из рис. 3.10, а

следовательно,

откуда

и

(см. скан)

Рис. 3.10

Проведем через произвольную точку О участка l балки поперечное сечение Положение этого сечения определяется углом а (рис. 3.10, а). С сечением совместим ось у подвижной системы координат; ось перпендикулярна ей и касательна к оси балки в точке О. Координаты точки О в неподвижной системе координат равны:

Составим [по формулам (2.7)-(4.7)] выражения изгибающего момента поперечной силы и продольной силы N в поперечных сечениях участка балки:

Аналогично составим выражения и N" для участка II балки:

Те же выражения можно получить и через силыи приложенные справа от рассматриваемого сечения.

По полученным выражениям, подставляя в них значения угла а, равные находим величины усилий в сечениях А, 1, 2, 3, 4, 5 и В балки.

Так, например, в сечении 1 (участка ). (см. рис. 3.10, а) при

В сечении 4 (участка II) при

По полученным значениям усилий в поперечных сечениях балки на рис. 3.10, б, в, г построены эпюры М, Q и

Связь между усилиями М, Q и N, действующими в поперечных сечениях кривого бруса, определяется следующими дифференциальными зависимостями

где q и t — интенсивности распределенных нагрузок соответственно перпендикулярной и параллельной оси бруса; -длина элементарного отрезка оси кривого бруса.

Формула (1.10) аналогична формуле Журавского (6.7), полученной в гл. 7 для прямых брусьев.

Зависимости (1.10) — (3.10) могут использоваться для проверки построенных эпюр М, Q, N. Проверим с их помощью эпюры, изображенные на рис. 3.10.

На участке l балки (см. рис. 3.10, а) ординаты эпюры Q положительны, а на участке II — отрицательны. Поэтому в соответствии с зависимостями (1.10) и (3.10) значения М и N на участке возрастают слева направо (т. е. с увеличением криволинейной координаты s), а на участке II — убывают. Ординаты эпюры N на участке I отрицательны, а на участке II — положительны; в соответствии с зависимостью (2.10) значения Q на участке возрастают, а на участке II - убывают.

Производная на отрезке, например, 2-3 оси балки (см. рис. 3.10, а) имеет среднее значение, равное (см. рис. 3.10,б)

где длина участка

Этому среднему значению производной в соответствии с зависимостью (1.10) примерно равна средняя величина Q на отрезке 2-3 (см. рис. 3.10, в). Производная на участке, например, 3-4 балки имеет среднее значение

В соответствии с зависимостью (2.10) такое же примерно значение на отрезке 3-4 имеет среднее отношение равное

Аналогично можно проверить выполнение условий и на других отрезках оси балки.