§ 7.2. СОБСТВЕННЫЙ ВЕС БРУСА

Если ось бруса вертикальна, то его собственный вес вызывает центральное растяжение или сжатие. Если вертикальный брус закреплен верхним концом, то от собственного веса он растягивается, а при закреплении нижнего конца — сжимается. Собственный вес вертикального бруса можно рассматривать как продольную (осевую) внешнюю нагрузку, распределенную вдоль оси бруса.

Рассмотрим брус постоянного сечения, закрепленный верхним концом и нагруженный только собственным весом (рис. 24.2, а).

Продольная сила в поперечном сечении этого бруса (на расстоянии от его нижнего конца) равна весу нижележащей части бруса, т. е.

где — объемный вес материала бруса; F — площадь поперечного сечения бруса.

Нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса определяются по формуле

Эпюры и а, показывающие изменение продольной силы и нормальных напряжений по длине бруса, изображены на рис. 24.2, б, в.

Рис. 24.2

Удлинение бруса определяется из выражения (18.2)

Умножая числитель и знаменатель последнего выражения на и учитывая, что , где G — вес всего бруса, получаем

Если бы сила G была приложена к брусу в нижнем его сечении (рис. 25.2, а), то продольные силы во всех сечениях бруса были бы равны G (рис. 25.2, б), а удлинение бруса равно . В действительности собственный вес бруса только в верхнем сечении вызывает продольную силу (см. рис. 24.2,б); среднее значение действительных продольных сил равно чем и объясняется наличие коэффициента 2 в знаменателе формулы (35.2).

Потенциальную энергию деформации бруса найдем по формуле (31.2):

или

Найдем теперь перемещение поперечного сечения того же бруса (см. рис. 24.2, г). Это сечение перемещается вниз на величину равную удлинению верхней части бруса длиной а.

Рис. 25.2

Удлинение А а участка длиной а определяем от собственного веса этого участка и веса нижерасположенной части бруса длиной (см. рис. 24.2, д). Деформацию от веса определяем по формуле (13.2), так как вес является для участка а внешней силой, а деформацию от веса формуле (35.2). При этом в указанные формулы подставляем а вместо Тогда

Подставляя в выражение (38.2) различные значения а, можно получить величины вертикальных (продольных) перемещений б различных поперечных сечений рассматриваемого бруса и построить по ним эпюру продольных перемещений (эпюру б), изображенную на рис. 24.2, е.