§ 4.13. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ СТЕРЖНЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Для сжатых стержней кроме условия прочности должно быть удовлетворено также условие устойчивости, которое можно выразить неравенством

где - допускаемое напряжение при расчете на устойчивость.

Ослабление сечений стержня заклепками или болтами в металлических конструкциях, врубками — в деревянных происходит не по всей его длине, а лишь на отдельных небольших участках. Сопротивление же стержня выпучиванию зависит от жесткости стержня на всем его протяжении. Поэтому местные ослабления практически не влияют на величину критической силы.

Допускаемое напряжение при расчетах на устойчивость назначается с запасом против критического напряжения, т.е. выражается формулой

(19.13)

где — нормативный (или требуемый) коэффициент запаса устойчивости, значения которого принимаются различными для различных материалов и зависят от гибкости стержня.

Коэффициент запаса устойчивости принимается более высоким, чем коэффициент запаса прочности. Это вызывается рядом обстоятельств, практически не поддающихся учету (начальная кривизна стержня, нецентральное действие нагрузки и др.), которые уменьшают критическую нагрузку, но почти не влияют на прочность конструкции.

Выразим допускаемое напряжение через допускаемое напряжение принимаемое при расчетах на прочность:

(20.13)

где — коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения для сжатых стержней (коэффициент продольного изгиба).

Значения коэффициента приведены в табл. 1.13. Они зависят от материала стержня и его гибкости.

Условие устойчивости (18.13) после замены через с помощью формулы (20.13) принимает вид

(21.13)

Кроме условия устойчивости сжатые стержни должны удовлетворять и условию прочности

(22.13)

Последовательность расчета сжатых стержней рассмотрим на примере. Определим размеры прямоугольного поперечного сечения деревянной стойки, сжатой силой (рис. 7.13); отношение сторон поперечного сечения а допускаемое напряжение

Таблица 1.13

Стойка ослаблена отверстиями диаметром 4 см. Один конец стойки заделан, другой свободен, и, следовательно, (см. § 2.13).

Опасной является потеря устойчивости стойки в плоскости , так как относительно оси у момент инерции поперечного сечения имеет наименьшее значение и, следовательно, при изгибе в этой плоскости гибкость имеет наибольшее значение, равное [см. формулу (12.13)]

В первом приближении принимаем произвольное значение коэффициента например

Рис. 7.13

Тогда на основании формулы (21.13)

По условию задачи, и, следовательно,

откуда

Из выражения (а) находим при

По табл. 1.13 при коэффициент и, следова тельно, выбранное значение сильно завышено.

Во втором приближении принимаем Тогда

откуда

По зависимости (а)

По табл. 1.13 при получаем по интерполяции Следовательно, значение является заниженным.

В третьем приближении принимаем значение . Тогда

откуда

По зависимости (а),

По табл. 1.13 при получаем

В четвертом приближении принимаем

Тогда

откуда

По зависимости (а)

По табл. 1.13 при получаем значение

В пятом приближении принимаем Тогда

откуда

По зависимости (а)

По табл. 1.13 при получаем значение совпадающее со значением, принятым в данном приближении.

Таким образом, окончательно принимаем .

При этом напряжения в поперечном сечении стойки, вычисляемые при проверке на устойчивость по площади брутто, равны

Допускаемое напряжение

Таким образом, условие устойчивости (21.13) удовлетворяется.

Проверим теперь, удовлетворяется ли условие прочности (22.13). Для этого определим площадь сечения стойки, ослабленного отверстием:

Следовательно, стойка подобранного сечения удовлетворяет и условию прочности.

Конечно, в тех случаях, когда поперечное сечение стойки не имеет ослаблений, проверка на прочность не требуется, так как в этих случаях