ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Физика > Сопротивление материалов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.16. РАСЧЕТ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВ

Толстостенным называется такой цилиндр, для которого отношение толщины стенки к внутреннему диаметру не менее 1/20.

Рассмотрим задачу о расчете толстостенного цилиндра, подвергающегося действию равномерно распределенных наружного давления и внутреннего давления (рис. 3.16, а). Такая нагрузка не может вызывать деформации изгиба цилиндра.

При расчете толстостенных цилиндров нормальные напряжения в сечениях плоскостями, проходящими через ось О симметрии (см. рис. 3.16, а), нельзя считать равномерно распределенными по толщине стенки, как это делается при расчете тонкостенных цилиндров.

Рис. 3.16

Нормальные напряжения действующие по цилиндрической поверхности с радиусом (см. рис. 3.16, а), могут быть того же порядка и даже превышать величины напряжений что при тонкостенных цилиндрах невозможно. Поэтому расчет толстостенных цилиндров нельзя производить по формуле (1.16), применяемой при расчете тонкостенных осесимметричных оболочек.

В связи с полярной симметрией цилиндра и нагрузки нормальные напряжения и являются главными напряжениями; в площадках, по которым они действуют, касательные напряжения равны нулю.

Третьим главным напряжением в каждой точке толстостенного цилиндра является напряжение действующее по площадке, совпадающей с поперечным сечением цилиндра, т. е. с сечением плоскостью, перпендикулярной его оси симметрии.

При выводе расчетных формул рассмотрим открытые цилиндры, т. е. цилиндры, не имеющие днищ. Напряжения в таких цилиндрах равны нулю.

Точное решение, выполненное методами теории упругости, показывает, что поперечные сечения цилиндра, плоские до его нагружения, остаются плоскими и после нагружения и что, следовательно, относительная деформация в направлении оси симметрии одинакова во всех точках поперечного сечения. На основании обобщенного закона Гука при

при

откуда

Из формулы (3.16) следует, что сумма напряжений о, и одинакова для всех точек цилиндра.

На рис. изображен элемент, выделенный из толстостенного цилиндра двумя цилиндрическими поверхностями радиусами , двумя плоскостями, проходящими через ось О симметрии цилиндра и образующими друг с другом угол и двумя поперечными сечениями, отстоящими друг от друга на расстоянии, равном единице. Все грани элемента совпадают с главными площадками.

Составим условие равновесия элемента в виде суммы проекций действующих на него сил на нормаль к цилиндрическим поверхностям, проведенную через их центры:

Сокращая это выражение на и пренебрегая бесконечно малыми величинами второго порядка, находим

Заменим в этом уравнении на [см. выражение (3.16)]:

или, учитывая, что

получаем

Проинтегрировав последнее уравнение, найдем

где С — постоянная интегрирования.

Постоянные А и С определим из граничных условий на поверхностях цилиндра:

а) на внутренней поверхности цилиндра, т. е. при и, следовательно,

б) на наружной поверхности цилиндра, т. е. при и, следовательно,

Решив совместно уравнения (5.16) и (6.16), найдем:

Подставим найденные выражения и С в уравнение (4.16). После преобразований

После подстановки в уравнение (3.16) выражения

Равенства (7.16) и (8.16) носят название формул Ламе. В этих формулах расстояние от точки до оси цилиндра учитывается членами стоящими в круглых скобках.

Рис. 4.16

Величины выражений в круглых скобках положительны при любых значениях г.

Следовательно, при действии на цилиндр только наружного или внутреннего давления знаки напряжений (а также и 09) во всех точках цилиндра одинаковы. В частности, при действии только наружного давления (рис. 4.16, а) напряжения во всех точках цилиндра отрицательны (сжатие); при действии же только внутреннего давления (рис. 4.16, б) напряжения во всех точках цилиндра отрицательны (сжатие), а — положительны (растяжение).

Выведем формулу для определения радиального перемещения и произвольной точки цилиндра (расположенной на расстоянии от оси его симметрии). Для этого выразим через и относительную деформацию в направлении, перпендикулярном радиусу (в окружном направлении):

На основании обобщенного закона Гука (при

Подставив в это уравнение значения [из выражений (7.16) и (8.16)], найдем

Положительное значение и указывает, что точка смещается по радиусу от оси симметрии цилиндра.

Для того чтобы определить увеличения (в результате деформации) внутреннего радиуса цилиндра и наружного радиуса в формулу (9.16) вместо надо подставить соответственно значения . В результате такой подстановки получим:

(10.16)

В случае закрытого цилиндра (цилиндра с днищем) формулы (7.16) и (8.16) для напряжений остаются без изменения, а напряжения в поперечных сечениях цилиндра определяются по формуле

Формула для радиального перемещения и в этом случае имеет

(13.16)

Наиболее часто толстостенные цилиндры находятся под действием внутреннего давления.

Из формул (7.16) и (8.16) следует, что при действии только внутреннего давления напряжения в любых точках цилиндра положительны и по абсолютной величине больше напряжений (которые отрицательны).

Наибольшей величины напряжения достигают у точек внутренней поверхности цилиндра, где они равны . В остальных точках напряжения меньше этого значения (см. эпюру на рис. 4.16, б). Наибольшее значение 09 можно уменьшить путем применения составных толстостенных цилиндров, состоящих из нескольких более тонких труб, надетых друг на друга (рис. 5.16).

Рис. 5.16

Вторая труба (рис. 5.16) изготовляется с внутренним диаметром, несколько меньшим наружного диаметра первой (внутренней) трубы, а третья — с внутренним диаметром, меньшим наружного диаметра второй трубы, и т. д. Разница (до сборки) между наружным диаметром внутренней трубы и внутренним диаметром надеваемой на нее трубы, принятая при их изготовлении, называется натягом.

Перед надеванием второй трубы на первую ее нагревают настолько, чтобы внутренний диаметр, увеличившись от нагрева, стал несколько больше наружного диаметра первой трубы. В процессе остывания вторая труба (внутренний диаметр которой при остывании уменьшается) оказывает на первую внешнее давление и сжимает ее. Аналогично на вторую трубу насаживают третью и т. д. Такой способ насадки одной трубы на другую называют посадкой с натягом. В результате натяга в трубах возникают начальные напряжения. Чем больше величина натяга, тем больше начальные напряжения.

Способ уменьшения напряжений и, следовательно, повышения прочности толстостенного цилиндра путем замены сплошного цилиндра составным предложен в середине прошлого века академиком А. В. Гадолиным.

В качестве примера рассмотрим составной цилиндр из трех труб со стенками одинаковой толщины, собранных с натягом (рис. 6.16, а). Цилиндр находится под действием внутреннего давления Радиусы труб равны: см и см.

Если бы рассматриваемый цилиндр был не составным, а сплошным, то распределение напряжений и вдоль радиуса определялось следующими выражениями, полученными из формул (7.16) и (8.16):

где — расстояние от оси цилиндра, см.

(см. скан)

Рис. 6.16.

Эпюры построенные с помощью этих выражений, изображены на рис. 6.16,б. Такие же напряжения возникают и в составном цилиндре от внутреннего давления (если не учитывать начальные напряжения от натяга).

Обозначим нормальное давление между наружной поверхностью первой трубы и внутренней поверхностью второй трубы, а - давление между наружной поверхностью второй и внутренней поверхностью третьей трубы.

Давления возникают в результате посадки с натягом второй трубы на первую и третьей на вторую.

На рис. 6.16, в, г изображены эпюры напряжений от давлений Ординаты этих эпюр подсчитаны по формулам (7.16) и (8.16); при этом раздельно рассмотрено действие давления на первую и вторую трубы, а давления вторую и третью трубы.

Величины полных напряжений, действующих в составном цилиндре (от внутреннего давления и натяга), можно получить алгебраическим суммированием соответствующих ординат эпюр, изображенных на рис. 6.16, 6, в, г. Так, например, полные напряжения в точках, расположенных в непосредственной близости от точек 1,2 и -справа от них (рис. 6.16, а), равны:

Величины давлений вызванных натягом, выберем с таким расчетом, чтобы распределение напряжений вдоль радиуса цилиндра было по возможности более равномерным. Для этого необходимо, чтобы напряжения в точках, отстоящих от оси цилиндра на расстояниях были одинаковы, т. е.

Из равенства

находим

Подставив выражение в равенство и решив его, получим

и, следовательно,

Величины полных напряжений в составном цилиндре можно определить путем суммирования напряжений от внутреннего давления (рис. 6.16,б) с напряжениями от натяга (рис. 6.16, в, г): при

при см

слева от точки 2

справа от точки 2

при

слева от точки 3

справа от точки 3

при

По полученным значениям на рис. 6.16,д построены эпюры полных напряжений в составном цилиндре.

Площадь эпюры (рис.

6.16, д) равна площади эпюры от внутреннего давления (рис. 6.16, б), однако напряжения распределены более равномерно. В результате этого наибольшее растягивающее напряжение в материале цилиндра уменьшается от 1381 до 861 кгс/см.

Для того чтобы после сборки рассмотренного составного цилиндра (рис. 6.16) между первой и второй трубами на поверхности их соприкосновения (контакта) возникло давление а между второй и третьей трубами — давление необходимо при изготовлении внутренний радиус второй трубы сделать на некоторую величину 62 меньше наружного радиуса первой, а внутренний радиус третьей трубы — на некоторую величину меньше наружного радиуса второй (рис. 7.16, а).

Рис. 7.16

Если к трубам до их сборки приложить давления то в результате деформации наружный радиус первой трубы станет равен внутреннему радиусу второй, а наружный радиус второй — внутреннему радиусу третьей (рис. 7.16, б). Следовательно, величины равны:

здесь уменьшение наружного радиуса первой трубы от давления - увеличение внутреннего радиуса второй трубы от давлений - уменьшение наружного радиуса второй трубы от давлений - увеличение внутреннего радиуса третьей трубы от давления (рис. 7.16, а, 6).

По формулам (10.16) и (11.16) находим:

Подставив выражения в формулы для после преобразования получим:

Подставим в формулы (14.16) числовые значения величин (принимаем ):

Таким образом, вторая труба должна быть изготовлена с внутренним радиусом, меньшим на см наружного радиуса первой трубы, а третья труба — с внутренним радиусом, меньшим на см наружного радиуса второй трубы. При выполнении этих условий в составном цилиндре после его сборки возникнут необходимые начальные напряжения, а при действии внутреннего давления полные напряжения будут равны напряжениям, показанным на рис. 6.16, д.

Если, например, первая труба изготовляется с наружным радиусом, равным 15 см, то внутренний радиус второй трубы следует брать равным 14,9961 см; если же вторая труба изготовлена с внутренним радиусом 15 см, то наружный радиус первой трубы следует брать равным 15,0039 см и т. д.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление