Примеры расчета

Пример 1.6 (к § 1.6, 2.6 и 4.6). На стальном валу постоянного сечения, вращающемся со скоростью об/мин, насажено четыре шкива (рис. 25.6, а). Один из них (шкив 2) получает от двигателя мощность

Остальные три шкива передают рабочим машинам мощности

Требуется: 1) построить эпюру крутящих моментов; 2) определить из расчетов на прочность и жесткость требуемый диаметр сплошного вала и сопоставить его с размерами сечения трубчатого вала при на и отношении диаметров сечения трубчатого вала с построить эпюру углов поворота для сплошного вала.

Решение. По формуле (2.6) определяем внешние моменты, передпваемые шкивами:

Моменты показаны на рис. 25.6, б. Момент направлен в сторону вращения вала; моменты направлены в противоположную сторону.

Крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала численно равен сумме внешних моментов, приложенных к валу слева или справа от этого сечения. В соответствии с этим крутящие моменты на отдельных участках вала равны:

Знаки крутящих моментов приняты в соответствии с правилом, изложенным в § 1.6. Например, для участка IV (рис. 25.6, б) крутящий момент, действующий в поперечном сечении, совпадает с направлением момента если смотреть на это сечение со стороны правого конца вала, т. е. действует по часовой стрелке; следовательно, момент положителен.

По полученным значениям строим эпюру крутящих моментов (рис. 25.6, в).

По формуле (20.6) находим полярный момент сопротивления вала, требуемый по условию прочности

Диаметр сплошного вала определяем с помощью формулы (10.6);

откуда

Округляя до ближайшего стандартного значения, принимаем мм.

Рис. 25.6

Диаметры d и трубчатого вала определяем с помощью формулы (11.6):

откуда

Округляя до ближайшего стандартного размера, получаем мм.

Внутренний диаметр кольцевого сечения

Таким образом, площадь поперечного сечения сплошного вала, необходимая по условию прочности, в 1,59 раза больше, чем трубчатого.

Проведем теперь расчет вала на жесткость.

Так как сечение вала постоянно по всей его длине, то наибольший относительный угол закручивания вала будет на участке 111 (рис. 25.6), в сечениях которого возникает наибольший крутящий момент. На этом участке относительный угол закручивания равен [см. формулу (6.6)]:

Угол по условию жесткости (21.6) не должен превышать Принимая находим

откуда

Требуемый диаметр вала сплошного сечения

что соответствует стандарту на нормальные диаметры.

Определяем диаметры d и трубчатого вала [см. формулу (22.5)];

откуда

Таким образом, площадь поперечного сечения сплошного вала, необходимая по условию жесткости, в 1,76 раза больше, чем трубчатого.

По условию жесткости требуется больший диаметр сплошного вала мм), чем по условию прочности мм). Окончательно принимаем мм; при атом соблюдается как условие прочности, так и условие жесткости вала.

Для построения эпюры углов поворота а определим полные углы закручивания вала на отдельных участках [по формуле (13.6)]:

где

В качестве неподвижного условно рассматриваем поперечное сечение вала, в котором расположен шкив 2. По формулам (14.6) определяем углы поворота отдельных сечений вала:

По этим данным на рис. 25.6, г построена эпюра углов поворота сечений вала.

Если бы за неподвижное было принято сечение вала, в котором расположен шкив J, то эпюра а углов поворота имела бы вид, изображенный на рис. 25.6, д.

Пример 2.6 (к § 1.6 и 2.6). При завинчивании винтовой сваи в грунт механизм (кабестан) развивает наибольший скручивающий момент Сопротивление грунта завинчиванию лопасти, передаваемое стволу сваи в сечении (рис. 26.6, а).

Рис. 26.6

Сопротивление сил трения ствола сваи о грунт представляет собой нагрузку в виде скручивающих моментов распределенных по стволу сваи, нарастающую с глубиной h по закону треугольника:

где (рис. 26.6, б). Определить максимальную глубину погружения ствола сваи в грунт, при которой полностью исчерпается мощность кабестана, а также построить эпюры крутящих моментов и углов поворота поперечных сечений, условно считая верхнее сечение ствола неподвижным.

Решение. Интенсивность распределенного скручивающего момента на глубине h от поверхности грунта равна:

где

Аналогично, на глубине

Сопротивление грунта по всей длине ствола сваи

полное сопротивление грунта, включая его сопротивление завинчиванию лопасти,

Мощность кабестана исчерпается, когда полное сопротивление грунта будет равно наибольшему моменту , развиваемому кабестаном, т. е. при или

откуда

Составим уравнения для крутящего момента в поперечном сечении ствола, отстоящем на расстоянии от его верхнего конца (рис. 26.6, в):

для участка

для участка

при

Здесь — длина ствола сваи над поверхностью грунта.

По полученным выражениям строим эпюру (рис. 26.6, в).

По формуле (13.6) определяем угол закручивания ствола на всем участке длиной а:

где — жесткость сечения ствола сваи при кручении,

На участке от до закручивания [см. формулу

Угол поворота ствола в верхнем его сечении принимаем равным нулю Для построения эпюры углов поворота используем первую из формул (14.6) и найденные значения углов закручивания отдельных участков сваи:

Эпюра углов поворота показана на рис. 26.6, г. Заметим, что эта эпюра линейна только на первом участке, где нет распределенной моментной нагрузки.

Пример 3.6 (к § 5.6 и 7.6). Цилиндрическая стальная пружина диаметром D из круглого прутка диаметром d закреплена в точках А и В и нагружена силой Р в точке С (рис. 27.6, а). Определить наибольшее напряжение в пружине и перемещение точки С.

Решение. Отбросим верхнее закрепление и заменим его реакцией N (рис. 27.6, б). Перемещение X верхнего конца пружины от совместного действия на нее сил N и Р равно нулю, так как в действительности этот конец закреплен и не может смещаться. На основании принципа независимости действия сил

где — перемещения верхнего (свободного) конца пружины (рис. 27.6, б) соответственно от сил N и Р, равные удлинениям пружины от действия этих сил. Значения определяем по формуле (30.6):

Здесь m и n — число витков пружины соответственно на участках АС и СВ.

Рис. 27.6

В формулу для входит число витков нижней части пружины потому, что верхняя часть АС пружины (см. рис. 27.6, б) под действием силы Р перемещается, не деформируясь. Подставим значения в выражение для X:

откуда

Теперь из уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось можно определить реакцию 5 нижнего закрепления (рис. 27.6, б):

откуда

Таким образом, на участке АС пружина растянута силой а на участке СВ сжата силой Следовательно, наибольшие напряжения возникают на участке АС. Определим их по формуле (26.6):

Перемещение точки С пружины вниз (рис. 27.6, а) равно удлинению верхней части АС пружины. Определяем это перемещение по формуле (30.6):

Этот же результат можно получить, рассматривая перемещение как деформацию сжатия нижней части СВ пружины:

Пример 4.6 (к § 6.6). Брус длиной скручивается моментом приложенным на левом конце (рис. 28.6, а).

Рис. 28.6

Определить наибольшие напряжения полный угол закручивания бруса при поперечных сечениях его в виде прямоугольника и двутавра, показанных на рис. 28.6, б, в. Модуль сдвига

Решение.

а) Прямоугольное сечение (рис. 28.6, б).

По формулам (34.6) определяем

По формулам (32.6) и (33.6):

б) Двутавровое сечение (рис. 28.6, в).

Сечение разбиваем на три прямоугольника: два горизонтальных и II) размером 20x5 см и один вертикальный (III) размером 30x3 см (рис. 28.6, г). Определяем значения для каждого из этих прямоугольников.

Для прямоугольников I и II по формуле (34.6):

Для прямоугольника III по формуле (35.6):

Для всего сечения в целом по формуле (37.6):

По формуле (38.6):

Наибольшие касательные напряжения, которые возникают в серединах длинных сторон прямоугольников определяем по формуле (32.6):

По формуле (33.6):

Пример 5.6. (к § 3.6 и 7.6). Построить эпюру крутящих моментов и углов поворота, а также определить потенциальную энергию кручения круглого бруса ступенчато-переменного сечения, жестко закрепленного по концам, при действии на него скручивающего момента (рис. 29.6, а). Модуль сдвига

Решение. Отбросим закрепление левого конца бруса и заменим его реактивным моментом (рис. 29.6, б).

Рис. 29.6

Составим дополнительное уравнение, которое показывает, что поворот а левого конца бруса равен нулю. Будем рассматривать как сумму углов поворота вызванного действием момента вызванного действием момента

Следовательно,

От действия момента в поперечных сечениях всех трех участков бруса (рис. 29.6, б) возникает одинаковый крутящий момент

Поэтому [см. формулы (13.6) и (14.6)]

Полярные моменты инерции поперечных сечений отдельных участков бруса:

Следовательно,

От действия момента крутящие моменты на отдельных участках бруса

Поэтому [см. формулы (13.6) и (14.6)]

Подставим полученные значения а и в выражение для а:

откуда

Полные крутящие моменты, действующие в поперечных сечениях бруса, равны суммам моментов от действия момента :

Построенная по этим данным эпюра показана на рис. 29.6, в.

Определяем полные углы закручивания на отдельных участках бруса [по формуле (13.6)]:

В соответствии с первой из формул (14.6) находим углы поворота сечений:

Полученное нулевое значение угла ад свидетельствует о правильности определения крутящих моментов. По найденным значениям углов поворота на рис. 29.6, г построена эпюра а.

По формуле (16.6) находим потенциальную энергию деформации кручения, накапливаемую брусом: