ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Физика > Сопротивление материалов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Макеты страниц

Примеры расчета

Пример 1.6 (к § 1.6, 2.6 и 4.6). На стальном валу постоянного сечения, вращающемся со скоростью об/мин, насажено четыре шкива (рис. 25.6, а). Один из них (шкив 2) получает от двигателя мощность

Остальные три шкива передают рабочим машинам мощности

Требуется: 1) построить эпюру крутящих моментов; 2) определить из расчетов на прочность и жесткость требуемый диаметр сплошного вала и сопоставить его с размерами сечения трубчатого вала при на и отношении диаметров сечения трубчатого вала с построить эпюру углов поворота для сплошного вала.

Решение. По формуле (2.6) определяем внешние моменты, передпваемые шкивами:

Моменты показаны на рис. 25.6, б. Момент направлен в сторону вращения вала; моменты направлены в противоположную сторону.

Крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала численно равен сумме внешних моментов, приложенных к валу слева или справа от этого сечения. В соответствии с этим крутящие моменты на отдельных участках вала равны:

Знаки крутящих моментов приняты в соответствии с правилом, изложенным в § 1.6. Например, для участка IV (рис. 25.6, б) крутящий момент, действующий в поперечном сечении, совпадает с направлением момента если смотреть на это сечение со стороны правого конца вала, т. е. действует по часовой стрелке; следовательно, момент положителен.

По полученным значениям строим эпюру крутящих моментов (рис. 25.6, в).

По формуле (20.6) находим полярный момент сопротивления вала, требуемый по условию прочности

Диаметр сплошного вала определяем с помощью формулы (10.6);

откуда

Округляя до ближайшего стандартного значения, принимаем мм.

Рис. 25.6

Диаметры d и трубчатого вала определяем с помощью формулы (11.6):

откуда

Округляя до ближайшего стандартного размера, получаем мм.

Внутренний диаметр кольцевого сечения

Таким образом, площадь поперечного сечения сплошного вала, необходимая по условию прочности, в 1,59 раза больше, чем трубчатого.

Проведем теперь расчет вала на жесткость.

Так как сечение вала постоянно по всей его длине, то наибольший относительный угол закручивания вала будет на участке 111 (рис. 25.6), в сечениях которого возникает наибольший крутящий момент. На этом участке относительный угол закручивания равен [см. формулу (6.6)]:

Угол по условию жесткости (21.6) не должен превышать Принимая находим

откуда

Требуемый диаметр вала сплошного сечения

что соответствует стандарту на нормальные диаметры.

Определяем диаметры d и трубчатого вала [см. формулу (22.5)];

откуда

Таким образом, площадь поперечного сечения сплошного вала, необходимая по условию жесткости, в 1,76 раза больше, чем трубчатого.

По условию жесткости требуется больший диаметр сплошного вала мм), чем по условию прочности мм). Окончательно принимаем мм; при атом соблюдается как условие прочности, так и условие жесткости вала.

Для построения эпюры углов поворота а определим полные углы закручивания вала на отдельных участках [по формуле (13.6)]:

где

В качестве неподвижного условно рассматриваем поперечное сечение вала, в котором расположен шкив 2. По формулам (14.6) определяем углы поворота отдельных сечений вала:

По этим данным на рис. 25.6, г построена эпюра углов поворота сечений вала.

Если бы за неподвижное было принято сечение вала, в котором расположен шкив J, то эпюра а углов поворота имела бы вид, изображенный на рис. 25.6, д.

Пример 2.6 (к § 1.6 и 2.6). При завинчивании винтовой сваи в грунт механизм (кабестан) развивает наибольший скручивающий момент Сопротивление грунта завинчиванию лопасти, передаваемое стволу сваи в сечении (рис. 26.6, а).

Рис. 26.6

Сопротивление сил трения ствола сваи о грунт представляет собой нагрузку в виде скручивающих моментов распределенных по стволу сваи, нарастающую с глубиной h по закону треугольника:

где (рис. 26.6, б). Определить максимальную глубину погружения ствола сваи в грунт, при которой полностью исчерпается мощность кабестана, а также построить эпюры крутящих моментов и углов поворота поперечных сечений, условно считая верхнее сечение ствола неподвижным.

Решение. Интенсивность распределенного скручивающего момента на глубине h от поверхности грунта равна:

где

Аналогично, на глубине

Сопротивление грунта по всей длине ствола сваи

полное сопротивление грунта, включая его сопротивление завинчиванию лопасти,

Мощность кабестана исчерпается, когда полное сопротивление грунта будет равно наибольшему моменту , развиваемому кабестаном, т. е. при или

откуда

Составим уравнения для крутящего момента в поперечном сечении ствола, отстоящем на расстоянии от его верхнего конца (рис. 26.6, в):

для участка

для участка

при

Здесь — длина ствола сваи над поверхностью грунта.

По полученным выражениям строим эпюру (рис. 26.6, в).

По формуле (13.6) определяем угол закручивания ствола на всем участке длиной а:

где — жесткость сечения ствола сваи при кручении,

На участке от до закручивания [см. формулу

Угол поворота ствола в верхнем его сечении принимаем равным нулю Для построения эпюры углов поворота используем первую из формул (14.6) и найденные значения углов закручивания отдельных участков сваи:

Эпюра углов поворота показана на рис. 26.6, г. Заметим, что эта эпюра линейна только на первом участке, где нет распределенной моментной нагрузки.

Пример 3.6 (к § 5.6 и 7.6). Цилиндрическая стальная пружина диаметром D из круглого прутка диаметром d закреплена в точках А и В и нагружена силой Р в точке С (рис. 27.6, а). Определить наибольшее напряжение в пружине и перемещение точки С.

Решение. Отбросим верхнее закрепление и заменим его реакцией N (рис. 27.6, б). Перемещение X верхнего конца пружины от совместного действия на нее сил N и Р равно нулю, так как в действительности этот конец закреплен и не может смещаться. На основании принципа независимости действия сил

где — перемещения верхнего (свободного) конца пружины (рис. 27.6, б) соответственно от сил N и Р, равные удлинениям пружины от действия этих сил. Значения определяем по формуле (30.6):

Здесь m и n — число витков пружины соответственно на участках АС и СВ.

Рис. 27.6

В формулу для входит число витков нижней части пружины потому, что верхняя часть АС пружины (см. рис. 27.6, б) под действием силы Р перемещается, не деформируясь. Подставим значения в выражение для X:

откуда

Теперь из уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось можно определить реакцию 5 нижнего закрепления (рис. 27.6, б):

откуда

Таким образом, на участке АС пружина растянута силой а на участке СВ сжата силой Следовательно, наибольшие напряжения возникают на участке АС. Определим их по формуле (26.6):

Перемещение точки С пружины вниз (рис. 27.6, а) равно удлинению верхней части АС пружины. Определяем это перемещение по формуле (30.6):

Этот же результат можно получить, рассматривая перемещение как деформацию сжатия нижней части СВ пружины:

Пример 4.6 (к § 6.6). Брус длиной скручивается моментом приложенным на левом конце (рис. 28.6, а).

Рис. 28.6

Определить наибольшие напряжения полный угол закручивания бруса при поперечных сечениях его в виде прямоугольника и двутавра, показанных на рис. 28.6, б, в. Модуль сдвига

Решение.

а) Прямоугольное сечение (рис. 28.6, б).

По формулам (34.6) определяем

По формулам (32.6) и (33.6):

б) Двутавровое сечение (рис. 28.6, в).

Сечение разбиваем на три прямоугольника: два горизонтальных и II) размером 20x5 см и один вертикальный (III) размером 30x3 см (рис. 28.6, г). Определяем значения для каждого из этих прямоугольников.

Для прямоугольников I и II по формуле (34.6):

Для прямоугольника III по формуле (35.6):

Для всего сечения в целом по формуле (37.6):

По формуле (38.6):

Наибольшие касательные напряжения, которые возникают в серединах длинных сторон прямоугольников определяем по формуле (32.6):

По формуле (33.6):

Пример 5.6. (к § 3.6 и 7.6). Построить эпюру крутящих моментов и углов поворота, а также определить потенциальную энергию кручения круглого бруса ступенчато-переменного сечения, жестко закрепленного по концам, при действии на него скручивающего момента (рис. 29.6, а). Модуль сдвига

Решение. Отбросим закрепление левого конца бруса и заменим его реактивным моментом (рис. 29.6, б).

Рис. 29.6

Составим дополнительное уравнение, которое показывает, что поворот а левого конца бруса равен нулю. Будем рассматривать как сумму углов поворота вызванного действием момента вызванного действием момента

Следовательно,

От действия момента в поперечных сечениях всех трех участков бруса (рис. 29.6, б) возникает одинаковый крутящий момент

Поэтому [см. формулы (13.6) и (14.6)]

Полярные моменты инерции поперечных сечений отдельных участков бруса:

Следовательно,

От действия момента крутящие моменты на отдельных участках бруса

Поэтому [см. формулы (13.6) и (14.6)]

Подставим полученные значения а и в выражение для а:

откуда

Полные крутящие моменты, действующие в поперечных сечениях бруса, равны суммам моментов от действия момента :

Построенная по этим данным эпюра показана на рис. 29.6, в.

Определяем полные углы закручивания на отдельных участках бруса [по формуле (13.6)]:

В соответствии с первой из формул (14.6) находим углы поворота сечений:

Полученное нулевое значение угла ад свидетельствует о правильности определения крутящих моментов. По найденным значениям углов поворота на рис. 29.6, г построена эпюра а.

По формуле (16.6) находим потенциальную энергию деформации кручения, накапливаемую брусом:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление