§ 2.8. ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА

Главное напряжение влияет на прочность материала, однако изменяет ее незначительно — в пределах 15%. Поэтому можно с известным приближением считать, что прочность материала определяется лишь наибольшим и наименьшим главными напряжениями Таким образом, расчет прочности в общем случае трехосного напряженного состояния сводится к расчету прочности при двухосном напряженном состоянии.

Для анализа прочности материала при двухосном напряженном состоянии удобно пользоваться кругами Мора, подробно рассмотренными в § 5.3.

Если для какого-либо материала имеются данные о его опасных состояниях при нескольких различных соотношениях между напряжениями то, изображая каждое опасное напряженное состояние при помощи круга Мора, получаем некоторое семейство таких кругов (рис. 1.8). Если к этому семейству кругов провести огибающую, то круги, характеризующие прочное состояние материала, будут располагаться внутри огибающей, а характеризующие опасное состояние — касаться ее.

Уменьшив эти круги в раз (где п — коэффициент запаса) и сохранив масштаб для напряжений, можно получить круги и огибающую, соответствующие допускаемым напряженным состояниям (рис. 2.8).

Рис. 1.8

Для материалов, сопротивление которых сжатию больше, чем растяжению, ординаты огибающей уменьшаются по мере возрастання растягивающих напряжений (см. рис. 1.8). В некоторой точке А (при положительном значении а) огибающая пересекает ось абсцисс. Эту точку можно рассматривать как круг Мора для случая всестороннего равномерного растяжения.

Рис. 2.8

Эксперименты показывают, что при всестороннем равномерном сжатии материал не разрушается, как бы велики ни были сжимающие напряжений. Поэтому огибающая остается незамкнутой и не пересекает ось абсцисс при отрицательных значениях а.

Получение достаточного количества опытных данных для точного построения огибающей затруднительно.

Поэтому практически огибающую, соответствующую допускаемым напряженным состояниям, имеющую криволинейное очертание, заменяют двумя прямыми АВ и АС, которые являются касательными к кругам Мора, построенным по значениям полученным на основании опытов на одноосное растяжение и сжатие (рис. 3.8).

Для того чтобы выяснить, удовлетворяется ли условие прочности в некоторой точке тела при возникающих в ней главных напряжениях и по этим значениям напряжений необходимо построить соответствующий круг Мора.

Рис. 3.8

Если круг будет расположен между прямыми АВ и АС (круг 1 на рис. 3.8), то, следовательно, материал в окрестности рассматриваемой точки имеет избыточную прочность, а если круг будет пересекать эти прямые (круг 2 на рис. 3.8), то этот материал имеет недостаточную прочность, т. е. коэффициент запаса для соответствующего напряженного состояния меньше требуемого. Круг, касающийся прямых АВ и АС (круг 3 на рис. 3.8), характеризует напряженное состояние, которое является допускаемым.

Этот способ проверки прочности материала предложен О. Мором.

Выяснить, удовлетворяет ли данное напряженное состояние условию прочности, можно и не прибегая к построению круга Мора, а воспользовавшись аналитическим выражением условия прочности. Для получения такого выражения построим круг Мора, касающийся прямых А3 и А3', т. е. круг, соответствующий допускаемому напряженному состоянию (этот круг в точке 5 на рис. 4.8 касается прямой А3), и установим соотношение между главными напряжениями в этом состоянии.

Из подобия треугольников 1-2-8 и 6-7-8 (рис. 4.8) находим

Здесь

Подставляем эти значения в уравнение (а):

откуда после преобразований получаем

Следовательно, условие прочности имеет вид

Условие (9.8) выражает упрощенную теорию Мора, в которой предельные (или допускаемые) огибающие заменены прямыми, проведенными по известным значениям опасных (или допускаемых) напряжений при простом растяжении и сжатии.

Рис. 4.8

Теория прочности Мора широко используется при расчетах конструкций из хрупких материалов. Для пластичных материалов допускаемые напряжения на одноосное растяжение и сжатие одинаковы и теория прочности Мора совпадает с третьей теорией прочности. Поэтому теорию прочности Мора иногда рассматривают как обобщение третьей теории применительно к хрупким материалам, неодинаково сопротивляющимся растяжению и сжатию. Заметим, что при огибающая кругов Мора, соответствующих предельным (или допускаемым) напряженным состояниям, параллельна оси а.

Недостатком теории прочности Мора (так же как и третьей теории) является пренебрежение влиянием промежуточного главного напряжения

Кроме того, следует иметь в виду, что, по существу, она применима для случаев таких напряженных состояний, для которых т. е. главные круги Мора (т. е. круги, построенные на главных напряжениях ) располагаются между кругами, соответствующими одноосному растяжению и одноосному сжатию, использованными при выводе условия прочности (9.8).