§ 9.3. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ

Для определения потенциальной энергии деформации, накапливаемой в элементарной частице тела, выделим из тела элементарный параллелепипед, ребра которого а грани совмещены с главными площадками. В общем случае трехосного напряженного состояния на каждую грань параллелепипеда перпендикулярно к ней действует внешняя сила, равная произведению нормального напряжения на площадь этой грани (рис. 16.3).

Рис. 16.3

На основании закона сохранения энергии потенциальная энергия деформации элементарного параллелепипеда равна работе внешних сил, приложенных к его граням. При вычислении этой работы будем предполагать, что внешние силы (все одновременно) постепенно нарастают от нуля до своего конечного значения, т. е. что эти силы действуют статически.

В результате действия на элементарный параллелепипед внешних сил его ребра удлиняются на следующие величины:

Работа внешних сил на этих удлинениях и равная ей потенциальная энергия определяются выражением

где каждое из слагаемых в правой части равенства представляет собой работу статически нарастающей силы или или на соответствующем (т. е. по направлению этой силы) удлинении ребер параллелепипеда или или

Подставляем в это выражение значения удлинений из (34.3):

Разделив выражение на первоначальный объем параллелепипеда получим общее количество и потенциальной энергии, приходящееся на единицу объема тела, т. е. так называемую полную удельную потенциальную энергию деформации:

Заменим в этой формуле относительные деформации их выражениями через напряжения [см. обобщенный закон Гука — формулы (26.3)]:

Размерность удельной потенциальной энергии — (или кгс/см2), и т. д.

Под действием внешних сил, приложенных к элементарному параллелепипеду, его объем изменяется на величину

Кроме того, изменяется и форма параллелепипеда, так как в результате того, что относительные удлинения ребер оказываются различными и, следовательно, первоначальное соотношение между длинами ребер изменяется.

Установим, какие напряжения надо приложить к элементарному параллелепипеду для того, чтобы его объем изменился на величину, определяемую формулой (37.3), а форма сохранилась прежней. Сохранение формы параллелепипеда возможно лишь при действии по всем его граням одинаковых напряжений (обозначим их ). При этом изменение объема параллелепипеда равно [см. формулу (37.3)] .

Приравниваем его фактическому изменению, определяемому формулой (37.3):

откуда

Таким образом, рассматриваемое напряженное состояние параллелепипеда (рис. 17.3, а) можно расчленить на два напряженных состояния.

В первом из них (рис. 17.3, б) объем параллелепипеда изменяется, а форма его остается неизменной; потенциальная энергия, накопленная в этом состоянии, называется потенциальной энергией изменения объема.

Во втором состоянии (рис. 17.3, в) объем параллелепипеда не изменяется, а изменяется лишь его форма; потенциальная энергия, накопленная в этом состоянии, называется потенциальной энергией изменения формы.

Рис. 17.3

Для того чтобы получить выражение удельной потенциальной энергии изменения объема, подставим в формулу (36.3) напряжения (рис. 17.3,б):

или

или [на основании формулы (24.3)]

Для того чтобы получить выражение удельной потенциальной энергии изменения формы, подставим в правую часть формулы (36.3) напряжения в):

После преобразований и замены выражением получаем

Сумма удельных потенциальных энергий изменения объема и формы равна полной удельной потенциальной энергии деформации, т. е.

В этом можно убедиться, если в равенство (42.3) подставить выражения и из формул (39.3), (41.3) и (36.3). Следовательно, полную удельную потенциальную энергию деформации можно рассматривать состоящей из удельной потенциальной энергии изменения объема и удельной потенциальной энергии изменения формы.

Зная удельную потенциальную энергию деформации в каждой точке упругого тела, можно вычислить потенциальную энергию, накапливаемую во всем теле:

Из формул (36.3), (39.3) и (41.3) легко получить выражения удельных потенциальных энергий для случаев двухосного и одноосного напряженных состояний. Так, например, для двухосного напряженного состояния, обозначив главное напряжение, равное нулю, получим

Если в этих равенствах главные напряжения заменим их выражениями через напряжения в двух произвольных взаимно перпендикулярных площадках [с помощью формул (12.3)], то после преобразований получим:

где

В формулах (45.3) нормальные напряжения учитываются одними слагаемыми, а касательные напряжения — другими.

Это означает, что удельную потенциальную энергию деформации можно вычислить отдельно от нормальных напряжений, действующих по боковым граням элементарного параллелепипеда, и отдельно от касательных напряжений.

Полученные здесь формулы действительны для напряжений, не превышающих предела пропорциональности материала.