§ 1.7. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ

В § 2.1 рассматривались различные внешние нагрузки (сосредоточенные и распределенные, силовые и моментные), встречающиеся при расчете конструкций. Внешние нагрузки, действующие на сооружение, вызывают появление в нем внутренних усилии (см. § 3.1). При действии на брус внешних нагрузок, расположенных в одной плоскости, проходящей через ось бруса (т. е. в случае плоского действия сил), в каждом поперечном сечении бруса возникают внутренние силовые факторы (усилия), действующие в этой же плоскости, а именно (рис. 1.7):

Рис. 1.7

а) продольная сила приложенная в центре тяжести сечения, действующая перпендикулярно к сечению;

б) поперечная сила Q, действующая в плоскости поперечного сечения, проходящая через его центр тяжести;

в) изгибающий момент действующий в плоскости, перпендикулярной к поперечному сечению. Изгибающий момент обозначается также (где индекс у или указывает на ось, расположенную в поперечном сечении бруса, относительно которой действует момент) или просто М.

Изгибающий момент в поперечном сечении считается положительным, когда на левом торце правой части бруса он направлен по часовой стрелке, а на правом торце левой части — против часовой стрелки. Продольная сила N в сечении положительна при растяжении. Поперечная сила Q положительна, когда на левом торце правой части бруса она направлена снизу вверх, а на правом торце левой части — сверху вниз; положительная поперечная сила стремится вращать отсеченную часть бруса (на которую она действует) по часовой стрелке — относительно любой точки С, расположенной на внутренней нормали к поперечному сечению. Положительные направления внутренних усилий показаны на рис. 1.7 (в аксонометрии) и 2.7.

Из рис. 2.7 следует, что при положительном изгибающем моменте верхние волокна бруса испытывают сжатие (укорочение), а нижние — растяжение ( удлинение).

При определении знаков внутренних усилий в вертикальных брусьях необходимо какой-то конец бруса (нижний или верхний) принимать в качестве левого и отмечать его на чертеже каким-либо значком.

Изгибающий момент, продольная сила и поперечная сила, действующие в каждом поперечном сечении, связаны с напряжениями, возникающими в этом сечении, следующими зависимостями [см. формулы (4.1) и рис. 8.1]:

В § 3.1 доказано, что для определения проекции на какую-либо ось внутренних сил в сечении, действующих со стороны левой части бруса на правую, на эту ось надо спроектировать все внешние силы, приложенные к левой части. Аналогично, чтобы определить момент (относительно какой-либо оси) внутренних сил в сечении, действующих со стороны левой части бруса на правую, надо вычислить момент (относительно этой оси) всех внешних сил, приложенных к левой части.

Рис. 2.7

Определение внутренних сил, действующих со стороны левой части бруса на правую, можно производить по внешним силам, приложенным не к левой части, а к правой. В этом случае проекции внешних сил на выбранные оси и их моменты относительно этих осей необходимо взять с обратными знаками. Эти положения позволяют сформулировать следующие правила определения внутренних усилий, возникающих в поперечном сечении бруса, для случаев, когда все внешние силы расположены в одной плоскости.

Изгибающий момент относительно центральной оси z поперечного сечения по величине и знаку равен сумме моментов относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к левой части бруса, или сумме моментов (относительно той же оси), взятой с обратным знаком, всех внешних сил, приложенных к правой части:

при этом моменты внешних сил положительны, когда они действуют по часовой стрелке.

Поперечная сила Q по величине и знаку равна сумме проекций всех внешних сил, приложенных к левой части бруса, на нормаль к его продольной оси, проведенную в рассматриваемом поперечном сечении, или сумме проекций (на ту же нормаль), взятой с обратным знаком, веек внешних сил, приложенных к правой части бруса:

при этом проекции внешних сил на нормаль положительны, когда они направлены снизу вверх.

Продольная сила N по величине и знаку равна сумме проекций всех внешних сил, приложенных к левой части бруса, на его продольную ось, или сумме проекций (на ту же ось), взятой с обратным знаком, всех внешних сил, приложенных к правой части бруса:

при этом проекции внешних сил на ось бруса положительны, когда они направлены справа налево.

Отметим, что при определении внутренних усилий моменты и проекции вычисляются от всех внешних сил, приложенных к брусу по одну (и только по одну) сторону от рассматриваемого поперечного сечения (т. е. или слева, или справа от сечения).

С невыполнением этого условия связано большинство ошибок при определении внутренних усилий.

Рис. 3.7

Для примера с помощью изложенных правил найдем внутренние усилия в сечении бруса, находящегося в равновесии, изображенного на рис. 3.7.

По формулам (2.7) -(4.7)

или

или

илди