1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640
Макеты страниц
§ 3.14. УДАРРассмотрим какую-либо неподвижно закрепленную упругую систему, на которую с высоты h падает груз Я (рис. 6.14). Пройдя путь Рис. 6.14 После удара в некоторый момент времени скорость перемещения груза станрвится равной нулю. В этот момент деформация конструкции и напряжения, возникающие в ней, достигают своих наибольших значений. Затем происходят постепенно затухающие колебания системы и груза; в результате устанавливается состояние статического равновесия, при котором деформации конструкции и напряжения в ней равны деформациям и напряжениям, возникающим от статически действующей силы Р. Система, подвергающаяся удару, может испытывать различные виды деформаций: сжатие (рис. 6.14, а), изгиб (рис. 6.14, б,в), кручение с изгибом (рис. 6.14, г) и др. Целью расчета сооружения на удар является определение наибольших деформаций и напряжений, возникающих в результате удара. В курсе сопротивления материалов предполагается, что напряжения, возникающие в системе при ударе, не превышают пределов упругости и пропорциональности материала, а потому при изучении удара можно использовать закон Гука. В основе приближенной теории удара, рассматриваемой в курсе сопротивления материалов, лежит гипотеза о том, что эпюра перемещений системы от груза Р при ударе (в любой момент времени) подобна эпюре перемещений, возникающих от этого же груза, но действующего статически. Если, например, эпюра наибольших прогибов балки от удара по ней падающим с высоты h грузом Р (динамических прогибов) имеет вид, показанный на рис. 7.14, а, а эпюра прогибов от статически приложенной силы Р (статических прогибов - вид, изображенный на рис. 7.14, б, то на основании указанной гипотезы где Рис. 7.14 Из приведенной гипотезы следует, что скорости движения различных точек системы, воспринимающей удар, в каждый момент времени относятся друг к другу как перемещения этих точек от статически действующего груза Р. В тот момент времени, когда скорость движения точки системы в месте удара равна нулю, скорости движения всех остальных ее точек также равны нулю. Рассмотрим сначала расчет на удар в случаях, когда масса упругого тела, подвергающегося удару, мала и ее при расчете можно принять равной нулю. Для этих случаев приведенная выше гипотеза становится точной, а не приближенной, и потому позволяет получить точное решение задачи. Обозначим А наибольшее перемещение системы по направлению груза Р (см. рис. 6.14). Тогда работа груза в результате падения его с высоты h равна Из сформулированной выше гипотезы следует, что перемещения точек упругой системы, возникающие в результате удара (динами-ческие перемещения), можно получить путем умножения перемещений, возникающих от статического действия силы Р, на динамический коэффициент Таким образом, перемещение от динамического (ударного) действия нагрузки можно рассматривать как статическое перемещение от силы Здесь Подставим выражение V [по формуле (9.14)] в равенство (8.14): или Но на основании формулы Здесь Из условия (10.14) В формуле (11.14) перед корнем взят знак плюс потому, что прогиб А не может быть отрицательным. Скорость v падающего груза в момент соприкосновения с системой, подвергающейся удару, связана с высотой падения h соотношением Поэтому формулу (11.14) можно представить и в таком виде: На основании формул (7.14), (11.14) и (12.14) получаем следующее выражение динамического коэффициента:
Из принятой гипотезы следует, что динамические напряжения а относятся к величинам статических напряжений откуда
Таким образом, для определения наибольших напряжений и перемещений при ударе напряжения и перемещения, найденные в результате расчета системы на силу Р, действующую статически, следует умножить на динамический коэффициент Рассмотрим теперь случай, когда высота падения груза равна нулю. Такой случай носит название внезапного действия (или мгновенного приложения) нагрузки. Он возможен, например, при раскружаливании железобетонного перекрытия, если стойки, поддерживающие опалубку, убрать мгновенно, выбив их одновременно все. При
Следовательно, при внезапном действии нагрузки деформации системы и напряжения в ней вдвое больше, чем при статическом действии той же. нагрузки. Поэтому в случаях, когда это возможно, следует избегать внезапного приложения нагрузки, например раскружаливание перекрытия производить постепенно, при помощи домкратов, песочниц и т. п. Если высота h падения груза во много раз больше перемещения Из формул (13.14) и (16.14) видно, что чем большие Рассмотрим несколько примеров ударного, действия силы Р. 1. В случае продольного удара, вызывающего деформацию сжатия бруса постоянного сечения (см. рис. 6.14, а), АСТ Наибольшие напряжения при таком ударе Если высота падения h или скорость v велики, то Из формулы (19.14) следует, что напряжения от удара обратно пропорциональны квадратному корню из объема Для уменьшения динамических напряжений следует увеличивать податливость (уменьшать жесткость) системы, например, путем применения пружин, смягчающих удар. Предположим, что на брус, подвергающийся продольному удару, поставлена пружина (рис. 8.14). Тогда [см. формулу (30.6)] где В этом случае динамический коэффициент Сопоставление формулы (20.14) с выражением (17.14) показывает, что применение пружины приводит к уменьшению динамического коэффициента. При мягкой пружине (например, при большом значении Рис. 8.14 Рис. 9.14 2. Сравним прочность двух брусьев, подвергающихся продольному удару (рис. 9.14): одного — постоянного сечения с площадью F, а другого с площадью F на участке длиной и площадью Для первого бруса а для второго Если длина При статическом действии силы оба бруса равнопрочны, так как наибольшие напряжения (при расчете без учета концентрации напряжений) в каждом из них а для второго (при малой величине т. е. в 3. В случае изгибающего удара грузом Р, падающим с высоты h на середину балки, свободно лежащей на двух опорах (рис. В этом случае динамический коэффициент [см. формулу (13.14)] Наибольший изгибающий момент возникает в сечении посередине пролета балки: Поперечная сила в сечениях балки Переходя к расчету на удар с учетом массы упругой системы, подвергающейся удару, рассмотрим сначала случай, когда система обладает сосредоточенной массой При этом будем различать три характерных момента. 1. Момент, непосредственно предшествующий соприкосновению груза Р с упругой системой, когда скорость груза Р равна v, а скорость массы 2. Момент соприкосновения груза Р с системой; при этом скорость с груза Р равна скорости движения упругой системы в месте удара. 3. Момент, когда упругая система получает наибольшее перемещение, а скорости груза Р и упругой системы равны нулю. Скорость с определяется из условия, что при неупругом ударе количество движения до удара равно количеству движения после удара (см. курс теоретической механики), т. е. откуда
Система под действием собственного веса Q еще до удара деформируется. Если Рис. 10.14 Обозначим А — наибольшее перемещение в месте падения груза Р, вызванное его ударным действием и силой В момент времени, когда система получает такое перемещение, грузы Р и Q оказывают на систему наибольшее давление, равное
где Потенциальную энергию можно выразить также через силу
Приравняем друг другу выражения (22.14) и (23.14) и выразим в первом из них значение с через v [см. формулу (21.14)]. Тогда после некоторых преобразований
Обозначим откуда
Подставим эти выражения перемещений в уравнение (24.14) и преобразуем его: откуда Частицы системы, соприкасающиеся с грузом Р, после удара получают ту же скорость, что и груз Для определения вызванных ударом наибольших динамических напряжений и перемещений с учетом массы упругой системы, так же как и при расчете без учета массы, напряжения и перемещения, найденные путем расчета системы на статическое действие силы Р, следует умножить на динамический коэффициент Рассмотрим теперь удар по упругой системе с распределенной по ее длине массой. Кинетическая энергия движения системы непосредственно после удара
где Упругую систему с распределенной массой (в сумме, равной откуда На основании гипотезы, приведенной выше, здесь Выражение динамического коэффициента для рассматриваемого случая можно получить путем подстановки в формулу (26.14) значения PQ вместо Сравнивая выражения (29.14) и (13.14), устанавливаем, что при учете массы упругой системы, подвергающейся удару, под знак корня дополнительно вводится множитель Рассмотрим вычисление коэффициента 1. Продольный удар, вызывающий деформацию сжатия (илирастяжения) бруса постоянного сечения(рис. 11.14, а). Перемещение Вычисляем коэффициент
Рис. 11.14 Рис. 12.14 Перемещение сечения а перемещение Вес элемента Подставляем найденные выражения в формулу (28.14): После выполнения интегрирования получим
|
Оглавление
|