Примеры расчета

Пример 1.9 (к § 1.9). Подобрать размеры b и h прямоугольного сечения (при а также определить положение нейтральной оси и перемещение свободного конца деревянной балки, изображенной на рис. 29.9, а. Построить для этой балки эпюру нормальных напряжений в опасном сечении.

Решение. Раскладываем силу Р на составляющие, параллельные осям у и :

Силы показаны на рис. 29.9, б.

Опасным является опорное сечение балки, в котором действуют изгибающие моменты:

в горизонтальной плоскости

в вертикальной плоскости

Полный изгибающий момент в опасном сечении действует в той же плоскости, в которой расположена сила Р, т. е. в плоскости, наклоненной к оси у под углом .

По формуле (6.9),

(так как, по условию, ), откуда

Положение нейтральной оси показано на рис. 29.9, б.

Наибольшие по абсолютной величине нормальные напряжения возникают в точках опасного сечения (см. рис. 29.9, б); в точке напряжения растягивающие, а в точке — сжимающие.

Рис. 29.9

Определяем их по формуле (8.9):

так как

Здесь выражено в Приравниваем наибольшее значение а допускаемому напряжению:

так как откуда требуемый момент сопротивления сечения балки

При

Следовательно,

Эпюра нормальных напряжений для опасного поперечного сечения изображена на рис. 29.9, б.

Свободный конец балки под действием силы переместится по вертикали вниз на величину а под действием силы сместится по горизонтали на величину . Величины определяем по формуле, полученной в примере 2 § 15.7:

где (для дерева);

Полное перемещение свободного конца балки

Направление перемещения образует с осью у угол :

Как и следовало ожидать, поскольку перемещения точек оси рассматриваемой балки происходят в плоскости, перпендикулярной нейтральной оси, составляющей угол Р с осью .

Пример 2.9 (к § 1.9). Определить наибольшее нормальное напряжение в опорном поперечном сечении равнобокого уголка размером мм, изображенного на рис. 30.9, а.

Решение. На рис. 30.9,б показаны главные центральные оси инерции уголка у и (наклоненные к полкам уголка под углами 45°) и составляющие сил параллельные этим осям:

Силы проходят через точку сечения, совпадающую с центром изгиба уголка (см. рис. 63.7); поэтому скручивания стержня происходить не будет.

В опорном сечении уголка изгибающие моменты относительно осей у и равны:

Оба момента вызывают в точках поперечного сечения, расположенных в квадранте 1 (с положительными координатами у и ), растягивающие напряжения; следовательно, плоскость действия полного изгибающего момента М проходит через квадрант ). Угол а определяется по формуле (3.9):

По формуле (6.9) находим угол наклона нейтральной оси к оси :

(значения определены по таблице сортамента). Положение нейтральной оси показано на рис. 30.9, в.

Для нахождения опасных точек (в которых возникают наибольшие нормальные напряжения) проводим линии, параллельные нейтральной оси, касающиеся контура сечения в различных точках (рис. 30 9, а)

Рис. 30.9

Наиболее удалены от нейтральной оси точка А (в которой возникает наибольшее растягивающее напряжение) и точка В (в которой возникает наибольшее сжимающее напряжение).

Координаты этих точек:

точки В:

По формуле (1.9) определяем нормальные напряжения в точках А и В:

Пример 3.9 (к § 2.9). Столб прямоугольного поперечного сечения (рис. 31.9, а) нагружен силой приложенной в точке А, координаты которой

Найти положение нейтральной оси и построить эпюру нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении столба. Собственным весом столба пренебречь.

Решение. Определяем геометрические характеристики сечения:

Дальнейшее решение проводим в двух вариантах.

Рис. 31.9

Вариант I.

По формуле (13.9)

В точке 1 при

в точке 2 (при )

в точке 3 (при )

в точке 4 (при )

На рис. 31.9,б по подсчитанным значениям напряжений построена в аксонометрии эпюра а. Соединив на этой эпюре точки 5 и 6, в которых напряжения а равны нулю, получим положение нейтральной оси пп.

Вариант II.

По формулам (16.9) определяем отрезки отсекаемые нейтральной осью на осях у и :

Определяем напряжение в центре тяжести поперечного сечения (при ):

На рис. 31.9, в по полученным значениям находим положение нейтральной оси . Перпендикулярно этой оси проводим прямую Затем через центр тяжести сечения проводим линию, параллельную нейтральной оси, до пересечения в точке 7 с прямой Из этой точки откладываем ординату 7—8, равную напряжению (в выбранном масштабе). Затем через точки 9 (пересечения нейтральной оси с прямой ) и 8 проводим прямую, которая является линией, ограничивающей эпюру напряжений .

Пример 4.9 (к § 3.9). Построить ядро сечения для поперечного сечения в виде тавра, изображенного на рис. 32.9.

Рис. 32.9

Центр тяжести сечения находится в точке О. Геометрические характеристики сечения: .

Решение. При полюсе в точке (с координатами ) отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат, равны:

По значениям этих отрезков на рис. 32.9 построена нулевая линия . При полюсе в точке (с координатами )

По этим знатениям отрезков построена нулевая линия (рис. 32.9).

Точку В в качестве полюса не рассматриваем, так как она расположена в вершине внутреннего угла многоугольника.

При полюсе в точке (с координатами )

По этим значениям отрезков построена нулевая линия Нулевые линии при полюсах в вершинах многоугольника строим, используя симметрию сечения относительно оси у.

Рис. 33.9

Многоугольник 1-2-3-4-5-6, образованный построенными нулевыми линиями, представляет собой ядро сечения (рис. 32.9).

Пример 5.9 (к § 4.9). Вал круглого сплошного сечения, изображенный на рис. 33.9. а. делает 500 оборотов в минуту и передает мощность, равную 100 л.с.

Определить необходимый диаметр вала по третьей и четвертой теориям прочности при Собственными весами шкивов и вала пренебречь.

Решение. По формуле (1.6) определяем моменты, передаваемые каждым из шкивов на вал:

Элюра крутящих моментов, возникающих в сечениях вала, показана на рис. 33.9, б.

Определяем усилия действуюшие на шкивы.

так как

Следовательно,

Шкив 2:

Следовательно,

Определяем вертикальные и горизонтальные составляющие нагрузки, действующей со стороны шкивов на вал:

Силы показаны на рис. 33.9, в.

На рис. 33.9, г, д показаны соответственно вертикальные и горизонтальные силы, действующие на вал. Для определения опорных реакций подшипников вала составим выражения сумм моментов всех вертикальных и сумм моментов всех горизонтальных сил относительно опор А и В:

откуда

откуда

откуда

откуда

Эпюры изгибающих моментов построенные соответственно от вертикальных и горизонтальных сил, показаны на рис. 33.9, е, ж.

По формуле (20.9) вычисляем значения полных изгибающих моментов М в сечениях вала:

Эпюра М построена на рис. 33.9, з.

Опасным сечением вала является опорное сечение В, так как в нем одновременно действуют наибольший изгибающий момент и наибольший крутящий момент . Определяем значения приведенных моментов по третьей и четвертой теориям прочности [см. формулы (25.9) и (28.9)]:

В этом примере значения приведенных моментов и MJV практически одинаковы. Это является результатом того, что при заданных размерах вала и шкивов решающее влияние на прочность вала оказывают изгибающие моменты, а влияние крутящих моментов несущественно.

Приняв расчетный момент равным 1435 кгс-м, определяем по формуле (26.9) необходимый момент сопротивления вала:

но для вала сплошного сечения

следовательно,

Диаметр вала принимаем равным 125 мм.

Пример 6.9 (к § 5.9). Проверить третьей и четвертой теориям прочности) прочность сплошного бруса круглого сечения, показанного на рис. 34.9.

Рис. 34.9

Брус защемлен левым концом, а к правому его концу приложены сила и скручивающий момент Диаметр бруса см, а допускаемое напряжение

Решение. Во всех поперечных сечениях бруса возникают одинаковые внутренние усилия:

Определяем нормальные и касательные напряжения в опасных точках бруса (опасными являются все точки, лежащие на контуре любого поперечного сечения рассматриваемого бруса):

По третьей теории прочности [см. формулу (24.9)],

По четвертой теории прочности [см. формулу (27.9)],

Таким образом, получается, что, если исходить из третьей теории прочности, брус недогружен на 4%, а по четвертой теории — на 16%.

Пример 7.9 (к § 6.9). Построить эпюры внутренних усилий, действующих в поперечных сечениях пространственного ломаного бруса, изображенного на рис. 35.9, а.

Брус состоит из прямолинейных элементов, параллельных и перпендикулярных друг другу.

Решение. Обозначаем — защемленный конец бруса, а - концы G и С (рис. 35.9, а).

Составляем выражения внутренних усилий в элементах бруса; при этом все величины принимаем в тоннах и метрах.

Элемент

При определении усилий в элементе FG используем систему координат изображенную около элемента BD (рис. 35.9, а):

Выражения остальных усилий имеют вид

(сжаты нижние волокна)

Элемент

(сжаты задние волокна);

Элемент DE [система координат изображена около элемента АВ (рис. 35.9, а)]:

(сжаты нижние волокна);

Элемент

(сжаты нижние волокна);

(сжаты задние волокна);

Элемент АВ:

(при сжаты верхние волокна):

(сжаты задние волокна);

Эпюры внутренних усилий, построенные по полученным выражениям, изображены на рис. 35.9, б, в, г, д.

(см. скан)

Рис. 35.9.

Покажем теперь применение способа построения эпюр путем отсекания и отбрасывания элементов бруса. Определим этим способом усилия, например, в элементе А В рассмотренного бруса.

Проведем сечение показанное на рис. 36.9, а, и отбросим элементы ВС и BDEFG бруса. К оставшейся части АВ в сечении В прикладываем силы (рис. 36.9, б) и моменты (рис. 36.9, в), величины и направления которых устанавливаем по эпюрам, изображенным на рис. 35.9, для элементов ВС и BD бруса.

Рис. 36.9

От их совместного действия определяем усилия в сечении, отстоящем на расстояние от конца В элемента А В:

(при сжаты верхние волокна);

(сжаты задние волокна);

Полученные значения усилий совпадают с значениями, показанными на эпюрах Q, N, М и (см. рис. 35.9, б, в, г, д).