Примеры расчета

Пример 1.14 (к § 2.14). Определить напряжения, возникающие в поперечных сечениях (площадью F) тонкого круглого кольца, равномерно вращающегося с угловой скоростью со вокруг оси , проходящей через его центр (рис. 28.14, а).

Рис. 28.14

Решение. Интенсивность сил инерции, отнесенных к единице длины оси (средней окружности) кольца, равна [см. формулу (6.14)]

Силы инерции представляем как равномерно распределенную нагрузку интенсивностью приложенную к оси кольца и направленную по радиусам от его центра (рис. 28.14, б). Из симметрии кольца и нагрузки относительно оси следует, что во всех поперечных сечениях кольца возникают только продольные силы N и что эти силы одинаковы.

Для определения значения N рассмотрим равновесие полукольца, показанного на рис. 28.14,б:

Здесь — элементарная сила инерции, действующая на элемент кольца длиной (рис. 28.14, б); — проекция этой силы на ось

Рис. 29.14

Заменим выражением на :

Нормальные напряжения в поперечных сечениях кольца

или, учитывая, что , где - окружная скорость кольца, окончательно имеем

Отметим, что напряжения во вращающемся кольце пропорциональны квадрату его окружной скорости и не зависят от площади поперечного сечения

Пример 2.14 (к § 2.14). Валик А В и жестко соединенный с ним ломаный стержень CDE вращаются с постоянной угловой скоростью со вокруг оси А В (рис. 29.14, а). Построить эпюры и N от действия инерционных сил и найти число оборотов валика в минуту, при котором наибольшие нормальные напряжения инерционных сил равны Поперечные сечения валика и стержня круглые с диаметром

Решение. По формуле (6.14) определяем интенсивность сил инерции, действующих на участке DE ломаного стержня:

Эти силы направлены по нормали к прямой DE. Из формулы (6.14) следует, что интенсивность сил инерции, действующих на участке CD ломаного стержня, изменяется по длине этого участка по линейному закону; в точке С она равна нулю: так как а в точке

Силы инерции, действующие на участке CD ломаного стержня, направлены вдоль его оси.

В любом поперечном сечении валика А В каждой элементарной частице соответствует равная ей частица , расположенная на общем с ней диаметре, на таком же расстоянии от оси О вращения валика (рис. 29.14, б). Элементарные инерционные силы, действующие на эти частицы, взаимно уравновешиваются, а потому не вызывают в поперечных сечениях валика ни изгибающих моментов, ни поперечных сил, ни продольных сил.

Эпюра инерционных сил, действующих на рассматриваемую систему, состоящую из валика и ломаного стержня, показана на рис. 29.14, в.

Составим уравнения равновесия в виде сумм моментов всех сил, действующих на систему, относительно точек А и В:

сткуда

откуда

На рис. 29.14, г, д, е изображены эпюры М, Q и N от действия на систему инерционных сил. Они построены обычным способом (см. гл. 7). Продольная сила в сечении участка CD ломаного стержня на расстоянии от оси А В равна

при

При построении эпюр М, Q и N для валика А В внутренние усилия, действующие в сечении С элемента CD ломаного стержня, можно рассматривать как внешние сосредоточенные нагрузки на валик (рис. 29.14, ж).

Наибольший изгибающий момент возникает в сечении валика АВ левее точки С (в непосредственной близости от нее): . Продольная сила в этом сечении равна нулю, и, следовательно, наибольшие нормальные напряжения

Здесь момент сопротивления поперечного сечения,

Наибольшая продольная сила возникает в верхнем сечении элемента

Изгибающий момент в этом сечении

и, следовательно, наибольшие нормальные напряжения

Так как отношение меньше единицы, то т. е. в данном примере опасным является сечение, в котором действует наибольший изгибающий момент. Приравниваем большее из найденных напряжений (т. е. ) допускаемому напряжению (а):

откуда

Угловая скорость со представляет собой угол поворота (выраженный в радианах) системы вокруг оси АВ за 1 сек. Счедовательно, (где — число оборотов за I мин). Таким образом, допускаемое число оборотов валика в минуту

Пример 3.14 (к § 3.14). На середину стальной балки длиной свободно лежащей на двух опорах, с высоты падает груз (рис. 30.14, а). Вычислить (без учета и с учетом собственного веса балки) наибольшие нормальные напряжения в ее поперечном сечении при ударе. Определить, как изменятся напряжения (при расчете без учета собственного веса балки), если левый конец балки опереть на пружину (рис. 30.14, б), жесткость которой (т. е. величина силы, вызывающей деформацию пружины, равную единице) равна кгс/см.

Дано: вес балки . Решение. А. Расчет балки, изображенной на рис. 30.14, а. Прогиб середины балки (в сечении под грузом Р) от статического действия силы

Не учитывая влияния собственного веса системы, подвергающейся удару, по формуле (13.14) находим динамический коэффициент:

Наибольший изгибающий момент М от статически действующей силы Р равен он возникает в поперечном сечении балки под этой силон.

Рис. 30.14

Наибольшие нормальные напряжения от статически действующей силы Р равны

По формуле (14.14) определяем динамические напряжения при ударе без учета собственного веса балки:

При расчете с учетом собственного веса балки динамический коэффициент определяем по формуле (29.14):

Здесь — вес балки; ( — коэффициент для случая изгибающего удара по середине балки, лежащей на двух жестких опорах, равный 17/35 [см. формулу (31.14)].

Динамические напряжения при учете собственного веса балки [по формуле (14.14)]

Для определения полных напряжений к ним надо добавить напряжения от собственного веса балки, равные

В данном случае в связи с незначительным весом балки по сравнению с весом падающего груза влияние собственного веса на результаты расчета несущественно.

Б. Расчет балки, изображенной на рис. 30.14, б.

В случае опирания левого конца балки на пружину при действии на балку статической силы Р пружина под влиянием опорной реакции, равной укоротится на величину где С — жесткость пружины, равная 500 кгс!см. Левый конец балки при этом опустится на величину а (рис. 30.14, в), а середина а Р 400 балки — на величину

Полное вертикальное перемещение от статического действия силы Р в сечении под силой (по середине балки) равно сумме величин прогиба, найденного при расчете балки без пружины, и перемещения, вызванного сжатием пружины, т. е.

По формуле (13.14) (без учета собственного веса балки) находим динамический коэффициент:

Наибольшее нормальное напряжение от статической силы в данном случае такое же, как и напряжение, подсчитанное для балки, не опертой на пружину, т. е. сгст

По формуле (14.14) находим

Таким образом, установка пружины под один конец балки уменьшила динамические напряжения примерно в 3,5 раза.

Пример 4.14 (к § 4.14). На конце стального каната подъемника расположена пружина, на которой подвешен груз опускаемый с помощью лебедки со скоростью (рис. 31.14).

Площадь поперечного сечения каната а модуль упругости каната . Жесткость пружины кгс/см. Определить наибольшие напряжения в канате при внезапной остановке барабана лебедки, если длина каната (от лебедки до груза) в этот момент составляет Во сколько раз изменились бы эти напряжения, если бы груз был прикреплен непосредственно к канату (без пружины)?

Решение. Определяем удлинение каната и пружины от статически действующей силы Р:

По формуле (34.14),

По формуле (36.14) определяем полные наибольшие нормальные напряжения в канате:

При подвеске к канату без прхжнны

Таким образом, при подвеске груза к канату без пружины напряжения в канате в 2,6 раза больше, чем при подвеске с пружиной.

Пример 5.14 (к § 5.14). К правому концу стальной балки, изображенной на рис. 32.14, а, прикреплен двигатель весом вал которого делает 500 оборотов в минуту. Вследствие неуравновешенности вращающихся частей двигателя на балку кроме его веса действует центробежная сила

Рис. 31.14

Рис. 32.14

Определить: 1) наибольший полный прогиб балки в сечении под центром двигателя и наибольшие полные нормальные напряжения, возникающие в балке; 2) число оборотов в минуту вала двигателя, при котором наступит резонанс. Собственный вес балки и силы сопротивления при расчете не учитывать. Дано:

Решение. По способу Верещагина определяем прогиб 6 сечения балки в месте расположения двигателя от вертикальной силы, равной единице (рис. 32.14, б):

По формуле (41.14) находим частоту свободных колебаний:

вертикальная составляющая центробежной силы представляет собой периодическую вызывающею поперечные колебания балки в вертикальной плоскости.

Частота q силы

где — число оборотов вала двигателя в минуту.

По формуле (52.14) находим динамический коэффициент:

Наибольший динамический прогиб правого конца балки [см. формулу (51.14)

Наибольший полный прогиб правого конца балки

Наибольшие нормальные напряжения возникают в сечении балки над правой опорой. Динамические напряжения в этом сечении

Полные напряжения равны сумме динамических и статических (от силы Р) напряжений:

Резонанс наступит, если частота периодической силы будет равна частоте со свободных колебаний балки, т. е. при что соответствует числу оборотов двигателя в минуту: