§ 17.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В БАЛКАХ ГРАФО-АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Рассматриваемый ниже метод определения перемещений в балках может использоваться как при постоянной жесткости поперечных сечений балки по ее длине, так и при переменной. Наиболее целесообразно применение этого метода при ступенчатом законе изменения жесткости балки.

Между распределенной нагрузкой q, поперечной силой и изгибающим моментом существуют, как известно, следующие зависимости [см. формулы (5.7) и (6.7)]:

Аналогичные зависимости существуют между значениями , углами поворота Ф и прогибами у поперечных сечений балки [см. выражения (67.7) и (68.7)]:

Сопоставляя зависимости (79.7) и (78.7), устанавливаем, что прогибы у и углы поворота Ф так связаны с величиной , как изгибающие моменты М и поперечные силы Q связаны с интенсивностью q распределенной нагрузки.

Следовательно, если условно рассматривать как интенсивность некоторой фиктивной распределенной нагрузки, то поперечная фиктивная сила от этой нагрузки будет представлять собой угол поворота, а фиктивный изгибающий момент - прогиб поперечного сечения балки, т. е.

На этом выводе основан графо-аналитический метод определения перемещений в балках.

Фиктивная нагрузка прикладывается не к заданной балке, а к фиктивной, расчетная схема которой зависит от условий закрепления заданной балки.

Если, например, левый конец заданной балки заделан (рис. 81.7, а), то прогиб у и угол поворота 0 этого конца равны нулю. Тогда в соответствии с формулами (80.7) у фиктивной балки на левом конце будут равны нулю изгибающий момент и поперечная сила для этого левый конец фиктивной балки должен быть свободным, т. е. не иметь каких-либо опорных закреплений (рис. 81.7, б).

Рис. 81.7

На правом (свободном) конце заданной балки (рис. 81.7, а) прогиб у и угол поворота в общем случае не равны нулю. Тогда в соответствии с формулами (80.7) на правом конце фиктивной балки величины и отличны от нуля; поэтому он заделан. Таким образом, при заданной балке в виде консоли, например, с левым защемленным концом и правым свободным (рис. 81.7, а) фиктивная балка представляет собой также консоль, но уже с правым защемленным концом и левым свободным (рис. 81.7, б).

Если заданная балка шарнирно оперта по концам (простая балка), то прогибы у ее концов равны нулю, а углы их поворота не равны нулю (рис. 82.7, а). Тогда в соответствии с формулами (80.7) для фиктивной балки на концах выполняются условия поэтому концы фиктивной балки шарнирно оперты. Таким образом, заданной простой балке (рис. 82.7, а) соответствует такая же фиктивная балка (рис. 82.7, б).

Рассмотрим теперь заданную балку, опирающуюся на две шарнирные опоры и имеющую справа консоль (рис. 83.7, а).

В соответствии с рис. 82.7 на левом конце фиктивной балки (в сечении А) имеется шарнирная опора, а в соответствии с рис. 81.7 правый ее конец (сечение С) заделан (рис. 83.7,б). В сечении В заданной балки прогиб у равен нулю, а угол поворота не равен нулю. Поэтому в сечении В фиктивной балки а это возможно, если в этом сечении будет шарнир (рис. 83.7, 6).

Рис. 82.7

Углы поворота заданной балки в сечениях, непосредственно прилегающих к опоре В слева и справа от нее, одинаковы, так как балка в этом месте не может иметь перелома. Поэтому в фиктивной балке поперечные силы непосредственно слева и справа от сечения В одинаковы, и, следовательно, в этом сечении не может быть расположена шарнирная опора, изображенная на рис. 83.7, в.

Рис. 83.7

Определим в качестве примера прогиб и угол поворота свободного конца балки ступенчато переменной жесткости, изображенной на рис. 84.7, а. На рис. 84.7,б показана эпюра изгибающих моментов М, возникающих в заданной балке. На рис. 84.7, в дана фиктивная балка, схема которой принята в соответствии с рис. 81.7, а; действующая на нее фиктивная распределенная нагрузка

Значение интенсивности этой нагрузки в каждой точке оси фиктивной балки получено путем деления соответствующей ординаты эпюры М (рис. 84.7,б) на жесткость балки (т.е. на на левой половине балки и на на правой).

Значения М в заданной балке отрицательны (рис. 84.7,б), а потому нагрузка также отрицательна (направлена сверху вниз).

Рис. 84.7

На основании формул (80.7):

Для вычисления значений поперечной силы и изгибающего момента определяем величины равнодействующих отдельных частей фиктивной нагрузки и положения этих равнодействующих (рис. 84.7, г):

По формулам (3.7) и (2.7):

Следовательно,

Отрицательное значение означает, что свободный конец балки перемещается вниз; положительное значение указывает на поворот свободного конца балки против хода часовой стрелки.

На основании решенного примера можно установить следующий порядок определения перемещений в балке графоаналитическим методом.

1. Строится эпюра изгибающих моментов М, возникающих в заданной балке от действующей на нее нагрузки.

2. В соответствии с рис. 81.7-83.7 устанавливается вид фиктивной балки.

3. К фиктивной балке прикладывается распределенная фиктивная нагрузка интенсивностью

4. Вычисляются значения фиктивных моментов (в сечениях, в которых определяются прогибы заданной балки) и фиктивных поперечных сил (в сечениях, в которых определяются углы поворота заданной балки).

5. Из выражений находятся искомые прогибы и углы поворота сечений заданной балки.