Научная библиотека

§ 2.5. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ СЕЧЕНИЙ

Статическим моментом сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок на их расстояния от этой оси, т. е.

Статические моменты выражаются в и т. д.

Для сложного сечения, состоящего из частей, выражения (2.5) можно представить в виде

где — статические моменты части сечения относительно осей и у соответственно.

Итак, статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси.

Нельзя суммировать статические моменты частей сечения, вычисленные относительно различных осей.

Рис. 2.5

Рис. 3.5

Рассмотрим сечение, показанное на рис. 2.5. Очевидно, что статический момент части сечения, расположенной выше оси 2, положителен, так как для любой площадки этой части ординаты у положительны; для части же сечения, расположенной оси , статический момент отрицателен и меньше по абсолютной величине. Поэтому статический момент всего рассматриваемого сечения положителен.

Если за положительное для оси у выбрать направление вниз (а не вверх, как на рис. 2.5), то интеграл станет отрицательным, а интеграл — положительным; статический момент всего сечения, равный сумме этих интегралов, станет отрицательным.

Таким образом, изменение положительного направления оси у вызывает изменение знака статического момента аналогично изменение положительного направления оси вызывает изменение знака статического момента

Рис. 4.5

Рис. 5.5

Установим зависимость между статическими моментами одного и того же сечения относительно двух параллельных друг другу осей (рис. 3.5). Выражения статических моментов относи тельно этих осей на основании (2.5) имеют вид

но

и, следовательно,

Окончательно

и аналогично

Найдем теперь положение осей , и (рис. 4.5), относительно которых статические моменты равны нулю. Для этого приравняем нулю выражения (4.5) и (5.5):

откуда

Точка пересечения таких осей (точка С на рис. 4.5) называется центром тяжести сечения, а оси, проходящие через центр тяжести, — центральными осями. Относительно любой оси, проходящей через центр тяжести сечения (т. е. относительно любой центральной оси), статический момент равен нулю.

Формулы (6.5) используются для определения координат центра тяжести сечения.

Для случаев, когда положение центра тяжести сечения известно, а требуется определить статические моменты сечения относительно любых осей у и z (рис. 5.5), формулы (6.5) преобразуются к виду

Определим для примера положение центра тяжести сечения, показанного на рис. 6.5. Для этого разобьем сечение на две части: прямоугольник площадью и квадрат площадью Центры тяжести этих частей показаны на рис. 6.5.

Рис. 6.5

Проведем случайные оси у и . Вычислим статический момент сечения относительно оси :

В этом выражении — статические моменты частей сечения площадями относительно оси , равные [на основании выражения (7.5)]:

Следовательно,

и на основании выражения (6.5)

где

Аналогично

где

Следовательно,

По найденным значениям координат на рис. 6.5 установлено положение центра тяжести С заданного сечения.

Положение центра тяжести того же сечения (см. рис. 6.5) можно найти более просто, если случайные оси провести через центр тяжести одной из частей, на которые разбито сечение.

Рис. 7.5

Рис. 8.5

Будем, например, рассматривать площадь заданного сечения как разность площадей квадрата квадрата 2, 5, 6, 7, так как заданное сечение можно получить путем вычитания квадрата из квадрата (рис. 7.5). Тогда относительно осей у и z, показанных на рис. 7.5:

(здесь так как ось 2 проходит через центр тяжести квадрата

Найденное положение центра тяжести С заданного сечения показано на рис. 7,5; оно совпадает с полученным выше (см. рис. 6.5).

Заметим, что разбивку сечения на составные части несколькими способами или выбор различных координатных систем (или то и другое) надо широко использовать для контроля правильности определения положения центра тяжести.

Следует иметь в виду, что при вычислении статических моментов сечений необходимо учитывать знаки координат центров тяжести отдельных частей фигуры. Так, например, при вычислении статического момента сечения (рис. 8.5) относительно оси абсциссу следует взять со знаком «минус»:

На основании рассмотренных примеров можно установить следующий порядок определения положения центра тяжести сложного сечения.

1. Сложное сечение разбивается на части, имеющие вид простых фигур.

2. Определяются площади и положения центров тяжести каждой фигуры.

3. Выбираются случайные координатные оси у и 2.

4. По формулам (7.5) вычисляются статические моменты каждой фигуры относительно осей у и . Затем путем суммирования значений [в соответствии с выражениями (3.5)] определяется статический момент а значений - статический момент всего сечения.

5. По формулам (6.5) вычисляются координаты центра тяжести всего сечения.

В отдельных случаях, когда заданное сечение нельзя разбить на такие фигуры, положения центров тяжести которых известны, положение центра тяжести всего сечения необходимо определять путем непосредственного интегрирования. Такие случаи рассмотрены в примере 1.5.