§ 2.11. ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ РАБОТ

Перемещения (прогибы и углы поворота) системы в результате ее деформации условимся обозначать где индекс указывает направление перемещения, а — причину, вызвавшую его. Таким образом, — перемещение по направлению «силы» , вызванное килой» . Перемещение может представлять собой либо линейное смещение, либо угол поворота (в радианах) в зависимости от того, является сила сосредоточенной силой или сосредоточенным моментом. Под силой понимается любая нагрузка, действующая на сооружение, например нагрузка, состоящая из нескольких сосредоточенных сил и моментов и какой угодно распределенной нагрузки.

Рассмотрим два состояния упругой системы, находящейся в равновесии. В каждом из этих состояний на систему (сооружение) действует некоторая статическая нагрузка, например в первом состоянии сила а во втором — сила (рис. 9.11).

Рис. 9.11

На рис. 9.11. показаны перемещения которые представляют собой:

— перемещение по направлению силы от действия силы

- перемещение по направлению силы от действия силы

- перемещение по направлению силы от действия силы

- перемещение по направлению силы от действия силы

Работу силы (т. е. нагрузки первого состояния) на вызванных ею перемещениях (т. е. на перемещениях первого же состояния) обозначим а работу силы на вызванных ею перемещениях

Величины этих работ при статическом действии сил равны [см. выражение (4.11)]:

(12.11)

Работы (в случае плоской задачи) с помощью формулы (9.11) можно выразить через внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях стержней системы:

(13.11)

Рассмотрим теперь случай статического нагружения той же системы (рис. 9.11) силами Р, и Р, в такой последовательности. Сначала к системе прикладывается статически нарастающая сила Р, (рис. 10.11). Когда процесс ее статического нарастания закончен, деформация системы и внутренние усилия, действующие в ней, становятся такими же, как и в первом состоянии, изображенном на рис. 9.11, а.

Рис. 10.11

Работа силы в процессе ее нарастания от нуля до ее конечного значения равна Затем на систему начинает действовать также статически нарастающая сила Р, (рис. 10.11).

В результате этого система получает дополнительные деформации и в ней возникают дополнительные внутренние усилия, равные деформациям и усилиям во втором состоянии, изображенном на рис. 9.11, б. В процессе нарастания силы от нуля до ее конечного значения сила оставаясь постоянной, перемещается вниз на величину дополнительного прогиба и, следовательно, совершает дополнительную работу, равную сила при этом совершает работу Таким образом, полная работа А при последовательном нагружении системы силами равна:

С другой стороны, работу А сил можно определить по формуле (4.11) как полусумму произведений каждой из этих сил на соответствующее ей полное перемещение, вызванное обеими силами (рис. 11.11):

Приравниваем друг другу выражения (14.11) и (15.11):

откуда

(16.11)

Рис. 11.11

Значение представляет собой работу силы первого состояния (см. рис. 9.11, а) на перемещении по ее направлению, вызванном силой второго состояния (см. рис. ). Аналогично, представляет собой работу силы второго состояния на перемещении по ее направлению, вызванном силой первого состояния.

Следовательно,

(17.11)

Такой же результат был бы получен, если бы в каждом из рассмотренных состояний (см. рис. 9.11) к системе прикладывалась не одна сила, а любое число сил и моментов.

Таким образом, работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния.

Этот вывод носит название теоремы о взаимности работ или теоремы Бетти.

Выразим работу через изгибающие моменты, продольные и поперечные силы, возникающие в первом и втором состояниях.

Из выражения (14.11)

(18.11)

Здесь А — полная работа, совершаемая силами и на перемещениях, вызванных этими же силами. На основании формулы (9.11)

(19.11)

где суммы представляют собой полные значения внутренних усилий в поперечных сечениях стержней от суммарного действия сил

Подставим в правую часть формулы (18.11) выражения по формулам (19.11) и (13.11):

или

Каждое подынтегральное выражение в правой части равенства (20.11) можно рассматривать как произведение внутреннего усилия (например, изгибающего момента ), возникающего в сечении стержня от сил первого состояния, на деформацию [например, элемента вызванную силами второго состояния.