Примеры расчета

Пример 1.10 (к § 2.10-4.10). Определить допускаемое значение сил Р для бруса большой кривизны, изображенного на рис. 9.10, а, при .

Решение. Опасным является поперечное сечение в котором возникают наибольшие изгибающий момент ) и продольная сила

По формуле (9.10) определяем радиус кривизны нейтрального слоя (при ) прямоугольного поперечного сечения;

По формуле (6.10) находим расстояние от центра тяжести сечения до нейтральной оси:

По формуле (8.10) находим величины нормальных напряжений в сечении бруса: наружного края сечения, внутреннего и — на расстоянии от центра кривизны:

где сила Я выражена в а напряжения о получены в Знаки минус перед членами формул, учитывающими влияние момента поставлены потому, что этот момент вызывает у наружного края сечения (для которого отрицательные (т. е. сжимающие) нормальные напряжения.

При величине силы Р, равной допускаемому значению [Р], наибольшее напряжение равно допускаемому, т. е.

откуда

и

Если бы при определении значение было округлено до 0,41, то радиус получился бы равным а расстояние с вместо полученных 0,27 см составило 0,5 см, т. е. увеличилось бы почти вдвое. В результате этого напряжения получили бы значения (при ):

т. е. отличались бы от ранее полученных значений почти в два раза. Поэтому необходимо выполнять вычисления (при определении и с) с высокой точностью.

Эпюра нормальных напряжений в сечении бруса при показана на рис. На этом же рисунке пунктиром изображена эпюра тех же напряжений, но подсчитанных без учета кривизны бруса (т. е. по формулам для прямого бруса).

Значения и с при решении данного примера можно подсчитать по приближенным формулам (10.10) и (17.10).

По формуле (10.10),

и, следовательно,

по формуле (17.10),

Таким образом, результаты определения с по приближенным формулам всего на 1% отличаются от значения, полученного поточной формуле (9.10), что указывает на достаточную точность приближенных формул.

Пример 2.10 (к § 2.10-4.10). Построить эпюры нормальных напряжений в поперечном селении бруса большой кривизны, имеющем вид трапеции и тавра (рис. 10.10, а, б), при изгибающем моменте (растягивающем наружные волокна) и

Рис. 9.10

Решение.

а) Трапецеидальное поперечное сечение (рис. 10.10, а).

Определяем положение центра тяжести сечения [по формуле (14.10):

Следовательно, радиус кривизны оси бруса

По формуле (13.10) определяем радиус кривизны нейтрального слоя:

Следовательно,

Расстояние с можно подсчитать и по приближенной формуле (17.10):

где — момент инерции поперечного сечения относительно центральной оси (рис. 10.10, а):

Здесь в первой скобке подсчитан момент инерции треугольника 1-2-4, а во второй — треугольника 2-3-4, на которые разбито поперечное сечение (рис. 10.10, а); -площадь поперечного сечения.

По формуле (7.10),

где — расстояние от точки поперечного сечения, для которой определяется нормальное напряжение, до оси проходящей через центр кривизны бруса (рис. 10.10, а).

Рис. 10.10

Эпюра нормальных напряжений, построенная по полученным значениям о, изображена на рис. 10.10,б.

б) Тавровое поперечное сечение (рис. 10.10,б).

Определяем положение центра тяжести сечения:

следовательно, радиус кривизны оси бруса

По формуле (16.10) определяем радиус кривизны нейтрального слоя:

где - площади прямоугольников 1 -2-3-4 и 5-6-7-8, составляющих заданное сечение (см. рис. 10.10, б); - значения радиусов кривизны для этих прямоугольников, подсчитанные по формуле (9.10):

Следовательно,

Значение можно приближенно определить по формуле (16.10), не вычисляя величин а расчленив тавровое сечение на четыре горизонтальные полосы с высотой каждой 5 см (такое членение показано пунктиром на рис. 10.10, б). Тогда в выражение (16.10) вместо для каждой полосы можно подставлять значение - расстояния от ее центра тяжести до центра кривизны бруса:

Расстояние с можно определить по приближенной формуле (17.10):

где — момент инерции поперечного сечения относительно центральной оси (см. рис. 10.10, б);

По формуле (7.10),

Эпюра нормальных напряжений, построенная по полученным значениям изображена на рис. 10.10, г.