§ 4.17. ИЗГИБ БАЛОК

При прямом чистом изгибе бруса в его поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Когда величина изгибающего момента М в сечении стержня меньше некоторого значения, эпюра, характеризующая распределение нормальных напряжений вдоль оси у поперечного сечения, перпендикулярной нейтральной оси (рис. 11.17, а), имеет вид, показанный на рис. 11.17, б. Наибольшие напряжения при этом равны По мере увеличения изгибающего момента М нормальные напряжения возрастают, пока наибольшие их значения (в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси) становятся равными пределу текучести (рис. 11.17, в); при этом изгибающий момент равен опасному значению:

При увеличении изгибающего момента сверх опасного значения напряжения, равные пределу текучести возникают не только в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси, но и в некоторой зоне поперечного сечения (рис. 11.17, г); в этой зоне материал находится в пластическом состоянии. В средней части сечения напряжения меньше предела текучести, т. е. материал в этой части находится еще в упругом состоянии.

Рис. 11.17.

При дальнейшем увеличении изгибающего момента пластическая зона распространяется в сторону нейтральной оси, а размеры упругой зоны уменьшаются.

При некотором предельном значении изгибающего момента , соответствующем полному исчерпанию несущей способности сечения стержня на изгиб, упругая зона исчезает, а зона пластического состояния занимает всю площадь поперечного сечения (рис. 11.17, д). При этом в сечении образуется так называемый пластический шарнир (или шарнир текучести).

В отличие от идеального шарнира, который не воспринимает момента, в пластическом шарнире действует постоянный момент Пластический шарнир является односторонним: он исчезает при действии на стержень моментов обратного (по отношению к ) знака или при разгрузке балки.

Для определения величины предельного изгибающего момента выделим в части поперечного сечения балки, расположенной над нейтральной осью, элементарную площадку отстоящую на расстоянии от нейтральной оси, а в части, расположенной под нейтральной осью, — площадку отстоящую на расстоянии от нейтральной оси (рис. 11.17, а).

Элементарная нормальная сила, действующая на площадку в предельном состоянии, равна а ее момент относительно нейтральной оси равен аналогично момент нормальной силы действующей на площадку равен Оба эти момента имеют одинаковые знаки. Величина предельного момента равна моменту всех элементарных сил относительно нейтральной оси:

где — статические моменты соответственно верхней и нижней частей поперечного сечения относительно нейтральной оси .

Сумму называют осевым пластическим моментом сопротивления и обозначают

(10.17)

Следовательно,

(11.17)

Продольная сила в поперечном сечении при изгибе равна нулю, а потому площадь сжатой зоны сечения равняется площади растянутой зоны. Таким образом, нейтральная ось в сечении, совпадающем с пластическим шарниром, делит это поперечное сечение на две равновеликие части. Следовательно, при несимметричном поперечном сечении нейтральная ось не проходит в предельном состоянии через центр тяжести сечения.

Определим по формуле (11.17) величину предельного момента для стержня прямоугольного сечения высотой h и шириной b:

Опасное значение момента при котором эпюра нормальных напряжений имеет вид, изображенный на рис. 11.17, в, для прямоугольного сечения определяется по формуле

Отношение

Для круглого сечения отношение а для двутаврового

Если изгибаемый брус является статически определимым, то после снятия нагрузки, вызвавшей в нем момент изгибающий момент в его поперечном сечении равняется нулю. Несмотря на это, нормальные напряжения в поперечном сечении не исчезают. На эпюру нормальных напряжений в пластической стадии (рис. 11.17, е) накладывается эпюра напряжений в упругой стадии (рис. 11.17, е), аналогичная эпюре, изображенной на рис. 11.17,б, так как при разгрузке (которую можно рассматривать как нагрузку моментом обратного знака) материал ведет себя как упругий.

Изгибающий момент М, соответствующий эпюре напряжений, показанный на рис. 11.17, е, по абсолютной величине равен так как только при этом условии в поперечном сечении бруса от действия момента и М суммарный момент равен нулю. Наибольшее напряжение на эпюре (рис. 11.17, е) определяется из выражения

Суммируя эпюры напряжений, показанные на рис. 11.17, д,е, получаем эпюру, изображенную на рис. 11.17, ж. Эта эпюра характеризует распределение напряжений после снятия нагрузки, вызывавшей момент При такой эпюре изгибающий момент в сечении (а также и продольная сила) равняется нулю.

Изложенная теория изгиба за пределом упругости используется не только в случае чистого изгиба, но и в случае поперечного изгиба, когда в поперечном сечении балки кроме изгибающего момента действует также поперечная сила.

Определим теперь предельное значение силы Р для статически определимой балки, изображенной на рис. 12.17, а. Эпюра изгибающих моментов для этой балки показана на рис. 12.17,б. Наибольший изгибающий момент возникает под грузом где он равен Предельное состояние, соответствующее полному исчерпанию несущей способности балки, достигается тогда, когда в сечении под грузом возникает пластический шарнир, в результате чего балка превращается в механизм (рис. 12.17, в).

При этом изгибающий момент в сечении под грузом равняется

Из условия находим [см. формулу (11.17)]

откуда

Теперь вычислим предельную нагрузку для статически неопределимой балки. Рассмотрим в качестве примера два раза статически неопределимую балку постоянного сечения, изображенную на рис. 13.17, а. Левый конец А балки жестко защемлен, а правый конец В закреплен против поворота и вертикального смещения.

Рис. 12.17

Если напряжения в балке не превышают предела пропорциональности, то эпюра изгибающих моментов имеет вид, показанный на рис. 13.17, б. Она построена по результатам расчета балки обычными методами, например с помощью уравнений трех моментов. Наибольший изгибающий момент равный возникает в левом опорном сечении рассматриваемой балки. При значении нагрузки изгибающий момент в этом сечении достигает опасного значения вызывающего появление напряжений, равных пределу текучести, в волокнах балки, наиболее удаленных от нейтральной оси.

Увеличение нагрузки сверх указанной величины приводит к тому, что в левом опорном сечении А изгибающий момент становится равным предельному значению и в этом сечении появляется пластический шарнир. Однако несущая способность балки полностью еще не исчерпывается.

При дальнейшем возрастании нагрузки до некоторого значения пластические шарниры появляются также в сечениях В и С. В результате появления трех шарниров балка, вначале дважды статически неопределимая, становится геометрически изменяемой (превращается в механизм). Такое состояние рассматриваемой балки (когда в ней возникают три пластических шарнира) является предельным и соответствует полному исчерпанию ее несущей способности; дальнейшее увеличение нагрузки Р становится невозможным.

Величину предельной нагрузки можно установить без исследования работы балки в упругой стадии и выяснения последовательности образования пластических шарниров.

Значения изгибающих моментов в сечениях. А, В и С (в которых возникают пластические шарниры) в предельном состоянии равны соответственно и, следовательно, эпюра изгибающих моментов при предельном состоянии балки имеет вид, изображенный на рис. 13.17, в. Эту эпюру можно представить состоящей из двух эпюр: первая из них (рис. 13.17, г) представляет собой прямоугольник с ординатами и вызвана моментами приложенными по концам простой балки, лежащей на двух опорах (рис. 13.17, д); вторая эпюра (рис. 13.17, е) представляет собой треугольник с наибольшей ординатой и вызвана грузом действующим на простую балку (рис. 13.17, ж.

Рис. 13.17

Известно, что сила Р, действующая на простую балку, вызывает в сечении под грузом изгибающий момент где а и — расстояния от груза до концов балки. В рассматриваемом случае (рис.

и, следовательно, момент под грузом

Но этот момент, как показано (рис. 13.17, е), равняется

откуда

Аналогичным образом устанавливаются предельные нагрузки для каждого пролета многопролетной статически неопределимой балки. В качестве примера рассмотрим четырежды статически неопределимую балку постоянного сечения, изображенную на рис. 14.17, а.

В предельном состоянии, соответствующем полному исчерпанию несущей способности балки в каждом ее пролете, эпюра изгибающих моментов имеет вид, показанный на рис. 14.17, б. Эту эпюру можно рассматривать состоящей из двух эпюр, построенных в предположении, что каждый пролет представляет собой простую балку, лежащую на двух опорах: одной эпюры (рис. 14.17, в), вызванной моментами действующими в опорных пластических шарнирах, и второй (рис. 14.17, г), вызванной предельными нагрузками, приложенными в пролетах.

Рис. 14.17

Из рис. 14.17, г устанавливаем:

В этих выражениях

Полученное значение предельной нагрузки для каждого пролета балки не зависит от характера и величин нагрузок в остальных пролетах.

Из разобранного примера видно, что расчет статически неопределимой балки по несущей способности оказывается проще, чем расчет по упругой стадии.

Несколько иначе проводится расчет неразрезной балки по несущей способности в тех случаях, когда кроме характера нагрузки в каждом пролете задаются также соотношения между величинами нагрузок в разных пролетах. В этих случаях предельной нагрузкой считается такая, при которой происходит исчерпание несущей способности балки не во всех пролетах, а в одном из ее пролетов.

В качестве примера определим предельную нагрузку для уже рассмотренной четырехпролетной балки (рис. 14.17, а) при следующем заданном соотношении между нагрузками: Из этого соотношения следует, что в предельном состоянии

Используя полученные выражения предельных нагрузок каждого пролета, находим:

Полученные четыре значения определяют величины нагрузок, при которых происходит исчерпание несущей способности отдельных пролетов балки. Наименьшее из этих четырех значений определяет искомую предельную нагрузку. Если, например, все пролеты рассматриваемой балки одинаковы то наименьшим из полученных значений является а искомая предельная нагрузка на балку состоит из следующих нагрузок:

Предельно допускаемая нагрузка определяется путем деления величин на нормативный коэффициент запаса прочности.

Значительно сложнее определение предельных нагрузок при действии на балку сил, направленных не только сверху вниз, но также и снизу вверх, а также при действии сосредоточенных моментов.