1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640
Макеты страниц
Глава 8. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ§ 1.8. КЛАССИЧЕСКИЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИПри испытании материалов статической нагрузкой на центральное растяжение и сжатие устанавливается так называемое опасное (или предельное) состояние. Оно характеризуется наступлением текучести, сопровождаемой значительными остаточными деформациями или появлением трещин, свидетельствующих о начале разрушения. Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней в момент наступления опасного состояния при образце из пластичного материала равны пределу текучести Обычно считают, что тело (элемент конструкции) находится в опасном состоянии, если такое состояние имеется в какой-либо его точке. Точку тела, в окрестности которой при пропорциональном возрастании нагрузки материал первым отзывается в опасном состоянии, называют опасной точкой. Существуют различные взгляды на причины, вызывающие опасное состояние материала. Считают, например, что опасное состояние наступает в результате того, что растягивающие нормальные напряжения достигают предельного значения, а потому следует ограничивать величину этих напряжений. Считают также, что за критерий опасного состояния следует принимать наибольшее относительное удлинение и поэтому следует ограничивать деформации. Аналогично следует ограничивать величины касательных напряжений (или полной удельной потенциальной энергии деформации и т. д.), если считать их причиной опасного состояния. В общем случае нагружения элемента конструкции определить его опасную точку можно лишь после выбора того или иного критерия наступления опасного состояния. Если причиной опасного состояния считаются растягивающие напряжения, то опасной является та точка тела, в которой возникает самое большое растягивающее напряжение. Если же причиной опасного состояния считаются касательные напряжения, то опасной является та точка, в которой возникает самое большое касательное напряжение, и т. д. Таким образом, положение опасной точки зависит от того, что считается причиной опасного состояния. Опасное состояние материала допустить нельзя, а потому при расчете сооружения на прочность ориентируются обычно на так называемое допускаемое состояние. Допускаемое состояние соответствует нагрузке, полученной путем деления опасной нагрузки (вызывающей опасное состояние) на некоторый коэффициент запаса, больший единицы. Обозначим наибольшее нормальное напряжение, наибольшее касательное напряжение и наибольшую относительную продольную деформацию, возникающие в допускаемом состоянии при одноосном растяжении или сжатии, В случае одноосного растяжения (или сжатия) элементов конструкции значение допускаемой нагрузки получится одинаковым независимо от того, будет она определена по значению М. М» М» М или Поэтому в случаях одноосного напряженного состояния вопрос о том, что именно является причиной, вызывающей опасное состояние материала, не имеет практического значения при расчетах на прочность. При двухосном (плоском) и трехосном (пространственном) напряженных состояниях возможны самые различные соотношения между главными напряжениями. Для того чтобы экспериментально установить значения этих напряжений, соответствующие допускаемым состояниям, необходимо провести очень большое число испытаний при различных соотношениях между главными напряжениями. Практически осуществить такие эксперименты невозможно не только из-за большого их числа, но также в связи с трудностью их проведения. Поэтому приходится, используя результаты опытов на одноосное растяжение и сжатие материала, теоретически определять его прочность для любых случаев двухосного и трехосного напряженных состояний. Таким образом, результаты испытаний на одноосное растяжение и сжатие становятся как бы эталоном прочности,с помощью которого устанавливается прочность материала в любом случае напряженного состояния. Рассмотрим три теории прочности (первую, вторую, третью), называемые классическими теориями прочности, и энергетическую теорию (четвертую). Теории прочности представляют собой гипотезы о критериях, определяющих условия перехода материала в опасное состояние. Расчеты по различным теориям прочности часто дают противоречивые результаты, не соответствующие также и опытным данным. Поэтому в каждом частном случае следует выполнять расчет по той теории прочности, которая является наиболее достоверной (наиболее хорошо согласующейся с результатами экспериментов) для данного материала и того типа напряженного состояния, которое имеется в опасной точке. В расчетных формулах, соответствующих различным теориям прочности, напряженное состояние материала выражается через значения главных напряжений Первая теория прочности представляет собой гипотезу о том, что опасное состояние материала наступает, когда наибольшее растягивающее напряжение достигает опасного значения. В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается величина наибольших растягивающих напряжений, которая не должна превышать допускаемого нормального напряжения Если допускаемые напряжения для материала на растяжение и сжатие одинаковы (пластичные материалы), то условие прочности по первой теории прочности имеет вид Если же допускаемые напряжения на растяжение Формулы (1.8) и (2.8) не учитывают влияния главных напряжений Первая теория прочности дает удовлетворительное совпадение с экспериментальными данными в случаях, когда главное напряжение Вторая теория прочности представляет собой гипотезу, согласно которой опасное состояние материала наступает в результате того, что наибольшее относительное удлинение достигает опасного значения. В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается величина наибольшего относительного удлинения, которая не должна превышать допускаемого значения Для пластичного материала условие прочности по второй теории прочности имеет вид но Поэтому неравенство (3.8) можно представить в виде Для хрупкого материала условие прочности выражается в виде Вторая теория прочности, как и первая, не объясняет причины разрушения образца при одноосном сжатии. В настоящее время вторая теория прочности в инженерных расчетах не применяется. Третья теория прочности представляет собой гипотезу, согласно которой опасное состояние материала наступает, когда наибольшие касательные напряжения в нем достигают опасного значения. В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается величина наибольшего касательного напряжения, которая не должна превышать допускаемого значения Наибольшие касательные напряжения в общем случае напряженного состояния определяются из выражения Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид или Третья теория прочности объясняет, почему в случае всестороннего равномерного сжатия материал может, не разрушаясь, выдерживать большие напряжения. Она, однако, не объясняет причины разрушения материала при всестороннем равномерном растяжении. Недостатком третьей теории является также то, что она не учитывает промежуточного главного напряжения Во многих практических случаях третья теория прочности дает удовлетворительное совпадение результатов теоретического расчета с опытными данными для пластических материалов. Она широко используется при расчетах конструкций из пластичных материалов. Для хрупких материалов эта теория неприменима. Энергетическая (четвертая) теория прочности представляет собой гипотезу о том, что причиной возникновения опасного состояния является величина удельной потенциальной энергии изменения формы. По этой теории, во многих случаях хорошо согласующейся с опытными данными, для пластичных материалов опасное состояние наступает при достижении удельной потенциальной энергией изменения формы некоторого опасного значения Условие прочности по энергетической (четвертой) теории прочности имеет вид [см. формулу (41.3)] или откуда Формулу (7.8) можно представить в виде Достоинством энергетической теории является то, что она учитывает все три главные напряжения. Она, как и третья теория, объясняет высокую прочность материала при всестороннем равномерном сжатии, но не может объяснить причины разрушения материала при всестороннем равномерном растяжении. Сопоставим третью теорию с четвертой, для чего установим отношение левой части неравенства (6.8) к левой части неравенства (7.8): где Числитель и знаменатель k положительны; следовательно, значение k также положительно. Если откуда и, следовательно, — 1. Это означает, что допускаемая нагрузка, рассчитанная по четвертой теории прочности, равна (при Изложенные теории прочности (как и рассматриваемые далее) неприменимы для анизотропных материалов, например для дерева, так как при расчете деревянных конструкций следует учитывать направление усилий по отношению к волокнам древесины.
|
Оглавление
|