ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Физика > Сопротивление материалов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Макеты страниц

Глава 8. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

§ 1.8. КЛАССИЧЕСКИЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

При испытании материалов статической нагрузкой на центральное растяжение и сжатие устанавливается так называемое опасное (или предельное) состояние. Оно характеризуется наступлением текучести, сопровождаемой значительными остаточными деформациями или появлением трещин, свидетельствующих о начале разрушения. Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней в момент наступления опасного состояния при образце из пластичного материала равны пределу текучести а при образце из хрупкого материала равны пределу прочности (при растяжении и при сжатии ).

Обычно считают, что тело (элемент конструкции) находится в опасном состоянии, если такое состояние имеется в какой-либо его точке. Точку тела, в окрестности которой при пропорциональном возрастании нагрузки материал первым отзывается в опасном состоянии, называют опасной точкой.

Существуют различные взгляды на причины, вызывающие опасное состояние материала. Считают, например, что опасное состояние наступает в результате того, что растягивающие нормальные напряжения достигают предельного значения, а потому следует ограничивать величину этих напряжений. Считают также, что за критерий опасного состояния следует принимать наибольшее относительное удлинение и поэтому следует ограничивать деформации. Аналогично следует ограничивать величины касательных напряжений (или полной удельной потенциальной энергии деформации и т. д.), если считать их причиной опасного состояния.

В общем случае нагружения элемента конструкции определить его опасную точку можно лишь после выбора того или иного критерия наступления опасного состояния. Если причиной опасного состояния считаются растягивающие напряжения, то опасной является та точка тела, в которой возникает самое большое растягивающее напряжение. Если же причиной опасного состояния считаются касательные напряжения, то опасной является та точка, в которой возникает самое большое касательное напряжение, и т. д. Таким образом, положение опасной точки зависит от того, что считается причиной опасного состояния.

Опасное состояние материала допустить нельзя, а потому при расчете сооружения на прочность ориентируются обычно на так называемое допускаемое состояние. Допускаемое состояние соответствует нагрузке, полученной путем деления опасной нагрузки (вызывающей опасное состояние) на некоторый коэффициент запаса, больший единицы.

Обозначим наибольшее нормальное напряжение, наибольшее касательное напряжение и наибольшую относительную продольную деформацию, возникающие в допускаемом состоянии при одноосном растяжении или сжатии, Полную удельную потенциальную энергию деформации обозначим а удельную потенциальную энергию изменения формы в этом состояния .

В случае одноосного растяжения (или сжатия) элементов конструкции значение допускаемой нагрузки получится одинаковым независимо от того, будет она определена по значению М. М» М» М или Это связано с тем, что при растягивающей (или сжимающей) силе, равной допускаемому ее значению, не только но и и

Поэтому в случаях одноосного напряженного состояния вопрос о том, что именно является причиной, вызывающей опасное состояние материала, не имеет практического значения при расчетах на прочность.

При двухосном (плоском) и трехосном (пространственном) напряженных состояниях возможны самые различные соотношения между главными напряжениями. Для того чтобы экспериментально установить значения этих напряжений, соответствующие допускаемым состояниям, необходимо провести очень большое число испытаний при различных соотношениях между главными напряжениями. Практически осуществить такие эксперименты невозможно не только из-за большого их числа, но также в связи с трудностью их проведения. Поэтому приходится, используя результаты опытов на одноосное растяжение и сжатие материала, теоретически определять его прочность для любых случаев двухосного и трехосного напряженных состояний.

Таким образом, результаты испытаний на одноосное растяжение и сжатие становятся как бы эталоном прочности,с помощью которого устанавливается прочность материала в любом случае напряженного состояния.

Рассмотрим три теории прочности (первую, вторую, третью), называемые классическими теориями прочности, и энергетическую теорию (четвертую).

Теории прочности представляют собой гипотезы о критериях, определяющих условия перехода материала в опасное состояние.

Расчеты по различным теориям прочности часто дают противоречивые результаты, не соответствующие также и опытным данным. Поэтому в каждом частном случае следует выполнять расчет по той теории прочности, которая является наиболее достоверной (наиболее хорошо согласующейся с результатами экспериментов) для данного материала и того типа напряженного состояния, которое имеется в опасной точке.

В расчетных формулах, соответствующих различным теориям прочности, напряженное состояние материала выражается через значения главных напряжений где При этом растягивающие напряжения считаются положительными, а сжимающие — отрицательными.

Первая теория прочности представляет собой гипотезу о том, что опасное состояние материала наступает, когда наибольшее растягивающее напряжение достигает опасного значения. В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается величина наибольших растягивающих напряжений, которая не должна превышать допускаемого нормального напряжения устанавливаемого из опыта на одноосное растяжение.

Если допускаемые напряжения для материала на растяжение и сжатие одинаковы (пластичные материалы), то условие прочности по первой теории прочности имеет вид

Если же допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие различны (хрупкие материалы), то условие прочности выражается в виде

Формулы (1.8) и (2.8) не учитывают влияния главных напряжений на прочность материала. Между тем, как показывают опытные данные, влияние их на прочность материала весьма существенно. Из первой теории прочности следует, что в случае всестороннего равномерного сжатия материалы могут выдерживать, не разрушаясь, большие напряжения, так как при этом растягивающие напряжения не возникают. Причины разрушения образца при одноосном сжатии первая теория прочности объяснить не может.

Первая теория прочности дает удовлетворительное совпадение с экспериментальными данными в случаях, когда главное напряжение по абсолютной величине значительно больше других. В практических расчетах первая теория прочности в настоящее время почти не применяется.

Вторая теория прочности представляет собой гипотезу, согласно которой опасное состояние материала наступает в результате того, что наибольшее относительное удлинение достигает опасного значения. В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается величина наибольшего относительного удлинения, которая не должна превышать допускаемого значения устанавливаемого опытом на одноосное рястяжение.

Для пластичного материала условие прочности по второй теории прочности имеет вид

но

Поэтому неравенство (3.8) можно представить в виде

Для хрупкого материала условие прочности выражается в виде

Вторая теория прочности, как и первая, не объясняет причины разрушения образца при одноосном сжатии. В настоящее время вторая теория прочности в инженерных расчетах не применяется.

Третья теория прочности представляет собой гипотезу, согласно которой опасное состояние материала наступает, когда наибольшие касательные напряжения в нем достигают опасного значения. В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается величина наибольшего касательного напряжения, которая не должна превышать допускаемого значения устанавливаемого опытным путем для одноосного напряженного состояния.

Наибольшие касательные напряжения в общем случае напряженного состояния определяются из выражения

Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид

или

Третья теория прочности объясняет, почему в случае всестороннего равномерного сжатия материал может, не разрушаясь, выдерживать большие напряжения. Она, однако, не объясняет причины разрушения материала при всестороннем равномерном растяжении. Недостатком третьей теории является также то, что она не учитывает промежуточного главного напряжения величина которого, как показывают опыты, влияет на прочность материала. Расхождение результатов теоретических расчетов и опытных данных из-за неучета величины достигает 10—15%.

Во многих практических случаях третья теория прочности дает удовлетворительное совпадение результатов теоретического расчета с опытными данными для пластических материалов. Она широко используется при расчетах конструкций из пластичных материалов. Для хрупких материалов эта теория неприменима.

Энергетическая (четвертая) теория прочности представляет собой гипотезу о том, что причиной возникновения опасного состояния является величина удельной потенциальной энергии изменения формы. По этой теории, во многих случаях хорошо согласующейся с опытными данными, для пластичных материалов опасное состояние наступает при достижении удельной потенциальной энергией изменения формы некоторого опасного значения определяемого опытным путем для одноосного напряженного состояния. Четвертая теория прочности широко используется при расчетах конструкций из пластичных материалов. Для хрупких материалов она неприменима.

Условие прочности по энергетической (четвертой) теории прочности имеет вид [см. формулу (41.3)]

или

откуда

Формулу (7.8) можно представить в виде

Достоинством энергетической теории является то, что она учитывает все три главные напряжения. Она, как и третья теория, объясняет высокую прочность материала при всестороннем равномерном сжатии, но не может объяснить причины разрушения материала при всестороннем равномерном растяжении.

Сопоставим третью теорию с четвертой, для чего установим отношение левой части неравенства (6.8) к левой части неравенства (7.8):

где

Числитель и знаменатель k положительны; следовательно, значение k также положительно. Если и то т. е. расчеты по третьей и четвертой теориям дают одинаковые результаты; при отдельных значениях k величина Определим наибольшее значение п. Для этого найдем первую производную по k и приравняем ее нулю:

откуда

и, следовательно, — 1.

Это означает, что допускаемая нагрузка, рассчитанная по четвертой теории прочности, равна (при или и при или ) допускаемой нагрузке по третьей теории прочности или превышает ее, но не более чем на 15,5% [при или на

Изложенные теории прочности (как и рассматриваемые далее) неприменимы для анизотропных материалов, например для дерева, так как при расчете деревянных конструкций следует учитывать направление усилий по отношению к волокнам древесины.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление