Глава 8. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

§ 1.8. КЛАССИЧЕСКИЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

При испытании материалов статической нагрузкой на центральное растяжение и сжатие устанавливается так называемое опасное (или предельное) состояние. Оно характеризуется наступлением текучести, сопровождаемой значительными остаточными деформациями или появлением трещин, свидетельствующих о начале разрушения. Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней в момент наступления опасного состояния при образце из пластичного материала равны пределу текучести а при образце из хрупкого материала равны пределу прочности (при растяжении и при сжатии ).

Обычно считают, что тело (элемент конструкции) находится в опасном состоянии, если такое состояние имеется в какой-либо его точке. Точку тела, в окрестности которой при пропорциональном возрастании нагрузки материал первым отзывается в опасном состоянии, называют опасной точкой.

Существуют различные взгляды на причины, вызывающие опасное состояние материала. Считают, например, что опасное состояние наступает в результате того, что растягивающие нормальные напряжения достигают предельного значения, а потому следует ограничивать величину этих напряжений. Считают также, что за критерий опасного состояния следует принимать наибольшее относительное удлинение и поэтому следует ограничивать деформации. Аналогично следует ограничивать величины касательных напряжений (или полной удельной потенциальной энергии деформации и т. д.), если считать их причиной опасного состояния.

В общем случае нагружения элемента конструкции определить его опасную точку можно лишь после выбора того или иного критерия наступления опасного состояния. Если причиной опасного состояния считаются растягивающие напряжения, то опасной является та точка тела, в которой возникает самое большое растягивающее напряжение. Если же причиной опасного состояния считаются касательные напряжения, то опасной является та точка, в которой возникает самое большое касательное напряжение, и т. д. Таким образом, положение опасной точки зависит от того, что считается причиной опасного состояния.

Опасное состояние материала допустить нельзя, а потому при расчете сооружения на прочность ориентируются обычно на так называемое допускаемое состояние. Допускаемое состояние соответствует нагрузке, полученной путем деления опасной нагрузки (вызывающей опасное состояние) на некоторый коэффициент запаса, больший единицы.

Обозначим наибольшее нормальное напряжение, наибольшее касательное напряжение и наибольшую относительную продольную деформацию, возникающие в допускаемом состоянии при одноосном растяжении или сжатии, Полную удельную потенциальную энергию деформации обозначим а удельную потенциальную энергию изменения формы в этом состояния .

В случае одноосного растяжения (или сжатия) элементов конструкции значение допускаемой нагрузки получится одинаковым независимо от того, будет она определена по значению М. М» М» М или Это связано с тем, что при растягивающей (или сжимающей) силе, равной допускаемому ее значению, не только но и и

Поэтому в случаях одноосного напряженного состояния вопрос о том, что именно является причиной, вызывающей опасное состояние материала, не имеет практического значения при расчетах на прочность.

При двухосном (плоском) и трехосном (пространственном) напряженных состояниях возможны самые различные соотношения между главными напряжениями. Для того чтобы экспериментально установить значения этих напряжений, соответствующие допускаемым состояниям, необходимо провести очень большое число испытаний при различных соотношениях между главными напряжениями. Практически осуществить такие эксперименты невозможно не только из-за большого их числа, но также в связи с трудностью их проведения. Поэтому приходится, используя результаты опытов на одноосное растяжение и сжатие материала, теоретически определять его прочность для любых случаев двухосного и трехосного напряженных состояний.

Таким образом, результаты испытаний на одноосное растяжение и сжатие становятся как бы эталоном прочности,с помощью которого устанавливается прочность материала в любом случае напряженного состояния.

Рассмотрим три теории прочности (первую, вторую, третью), называемые классическими теориями прочности, и энергетическую теорию (четвертую).

Теории прочности представляют собой гипотезы о критериях, определяющих условия перехода материала в опасное состояние.

Расчеты по различным теориям прочности часто дают противоречивые результаты, не соответствующие также и опытным данным. Поэтому в каждом частном случае следует выполнять расчет по той теории прочности, которая является наиболее достоверной (наиболее хорошо согласующейся с результатами экспериментов) для данного материала и того типа напряженного состояния, которое имеется в опасной точке.

В расчетных формулах, соответствующих различным теориям прочности, напряженное состояние материала выражается через значения главных напряжений где При этом растягивающие напряжения считаются положительными, а сжимающие — отрицательными.

Первая теория прочности представляет собой гипотезу о том, что опасное состояние материала наступает, когда наибольшее растягивающее напряжение достигает опасного значения. В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается величина наибольших растягивающих напряжений, которая не должна превышать допускаемого нормального напряжения устанавливаемого из опыта на одноосное растяжение.

Если допускаемые напряжения для материала на растяжение и сжатие одинаковы (пластичные материалы), то условие прочности по первой теории прочности имеет вид

Если же допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие различны (хрупкие материалы), то условие прочности выражается в виде

Формулы (1.8) и (2.8) не учитывают влияния главных напряжений на прочность материала. Между тем, как показывают опытные данные, влияние их на прочность материала весьма существенно. Из первой теории прочности следует, что в случае всестороннего равномерного сжатия материалы могут выдерживать, не разрушаясь, большие напряжения, так как при этом растягивающие напряжения не возникают. Причины разрушения образца при одноосном сжатии первая теория прочности объяснить не может.

Первая теория прочности дает удовлетворительное совпадение с экспериментальными данными в случаях, когда главное напряжение по абсолютной величине значительно больше других. В практических расчетах первая теория прочности в настоящее время почти не применяется.

Вторая теория прочности представляет собой гипотезу, согласно которой опасное состояние материала наступает в результате того, что наибольшее относительное удлинение достигает опасного значения. В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается величина наибольшего относительного удлинения, которая не должна превышать допускаемого значения устанавливаемого опытом на одноосное рястяжение.

Для пластичного материала условие прочности по второй теории прочности имеет вид

но

Поэтому неравенство (3.8) можно представить в виде

Для хрупкого материала условие прочности выражается в виде

Вторая теория прочности, как и первая, не объясняет причины разрушения образца при одноосном сжатии. В настоящее время вторая теория прочности в инженерных расчетах не применяется.

Третья теория прочности представляет собой гипотезу, согласно которой опасное состояние материала наступает, когда наибольшие касательные напряжения в нем достигают опасного значения. В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается величина наибольшего касательного напряжения, которая не должна превышать допускаемого значения устанавливаемого опытным путем для одноосного напряженного состояния.

Наибольшие касательные напряжения в общем случае напряженного состояния определяются из выражения

Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид

или

Третья теория прочности объясняет, почему в случае всестороннего равномерного сжатия материал может, не разрушаясь, выдерживать большие напряжения. Она, однако, не объясняет причины разрушения материала при всестороннем равномерном растяжении. Недостатком третьей теории является также то, что она не учитывает промежуточного главного напряжения величина которого, как показывают опыты, влияет на прочность материала. Расхождение результатов теоретических расчетов и опытных данных из-за неучета величины достигает 10—15%.

Во многих практических случаях третья теория прочности дает удовлетворительное совпадение результатов теоретического расчета с опытными данными для пластических материалов. Она широко используется при расчетах конструкций из пластичных материалов. Для хрупких материалов эта теория неприменима.

Энергетическая (четвертая) теория прочности представляет собой гипотезу о том, что причиной возникновения опасного состояния является величина удельной потенциальной энергии изменения формы. По этой теории, во многих случаях хорошо согласующейся с опытными данными, для пластичных материалов опасное состояние наступает при достижении удельной потенциальной энергией изменения формы некоторого опасного значения определяемого опытным путем для одноосного напряженного состояния. Четвертая теория прочности широко используется при расчетах конструкций из пластичных материалов. Для хрупких материалов она неприменима.

Условие прочности по энергетической (четвертой) теории прочности имеет вид [см. формулу (41.3)]

или

откуда

Формулу (7.8) можно представить в виде

Достоинством энергетической теории является то, что она учитывает все три главные напряжения. Она, как и третья теория, объясняет высокую прочность материала при всестороннем равномерном сжатии, но не может объяснить причины разрушения материала при всестороннем равномерном растяжении.

Сопоставим третью теорию с четвертой, для чего установим отношение левой части неравенства (6.8) к левой части неравенства (7.8):

где

Числитель и знаменатель k положительны; следовательно, значение k также положительно. Если и то т. е. расчеты по третьей и четвертой теориям дают одинаковые результаты; при отдельных значениях k величина Определим наибольшее значение п. Для этого найдем первую производную по k и приравняем ее нулю:

откуда

и, следовательно, — 1.

Это означает, что допускаемая нагрузка, рассчитанная по четвертой теории прочности, равна (при или и при или ) допускаемой нагрузке по третьей теории прочности или превышает ее, но не более чем на 15,5% [при или на

Изложенные теории прочности (как и рассматриваемые далее) неприменимы для анизотропных материалов, например для дерева, так как при расчете деревянных конструкций следует учитывать направление усилий по отношению к волокнам древесины.