§ 3.12. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим пример расчета статически неопределимой рамы, изображенной на рис. 9.12, а. Рама два раза статически неопределима. В качестве основной системы примем ломаный брус с защемленным правым концом (рис. 9.12, б).

Приведем канонические уравнения:

Единичные и грузовая эпюры изгибающих моментов для основной системы показаны на рис. 9.12, в, г, д.

Для определения коэффициентов эпюру умножаем на М.

Для определения эпюру умножаем на :

Для определения эпюру умножаем на

Умножаем поочередно единичные эпюры и на грузовую эпюру в результате этого найдем свободные члены системы канонических уравнений:

Подставим найденные величины перемещений в канонические уравнения и сократим их на общий множитель

Решив эту систему уравнений, найдем:

Для построения окончательной эпюры изгибающих моментов прикладываем к основной системе заданную нагрузку и найденные усилия причем направляем справа налево, так как в результате решения канонических уравнений значение получено со знаком минус (рис. 9.12, е).

Составим теперь уравнения изгибающих моментов для каждого участка рамы. Нижний конец вертикального элемента считаем левым и отмечаем его крестиком.

(см. скан)

Рис. 9.12

Сечение

Определяем . Для этого первую производную от по приравняем нулю:

откуда

и

Сечение

Окончательная эпюра изгибающих моментов изображена на рис. 9.12, ж.

Окончательную эпюру изгибающих моментов можно построить и другим способом. Умножим все ординаты единичной эпюры на , а эпюры — на Полученные таким путем эпюры показаны на рис. 9.12, з, и. Сложив (по характерным сечениям) эпюры друг с другом и с эпюрой (рис. 9.12,б), получим значения ординат окончательной эпюры М. В сечении горизонтального элемента рамы (ригеля) у защемленного (правого) конца

а у левого конца

Для определения изгибающего момента в произвольном сечении стойки рамы эту стойку можно рассматривать как простую балку с приложенной по ее длине заданной нагрузкой q и приложенным в верхнем конце моментом (рис. 9.12, к). Нижняя опорная реакция этой балки

а изгибающий момент в сечении балки

По полученным значениям ординат строится окончательная эпюра М (рис. 9.12, ж).

На основании рассмотренного примера можно установить следующий порядок расчета статически неопределимых систем.

1. Выбирается основная статически определимая система путем отбрасывания в заданной системе лишних связей.

2. Действие отброшенных связей возмещается приложением к основной системе неизвестных усилий.

3. Составляются канонические уравнения, которые показывают, что полные перемещения в основной системе, возникающие по направлениям неизвестных усилий под влиянием этих усилий и заданной нагрузки, равны нулю.

4. Основная система поочередно нагружается единичными усилиями и от каждого из них отдельно строятся единичные эпюры изгибающих моментов Помимо этого, строится грузовая эпюра изгибающих моментов

5. Вычисляются все коэффициенты системы канонических уравнений путем перемножения единичных эпюр.

6. Определяются грузовые члены системы канонических уравнений путем перемножения единичных эпюр с грузовой эпюрой.

7. Решается система канонических уравнений, в результате чего находятся значения неизвестных

8. Для получения окончательной (суммарной) эпюры изгибающих моментов ординаты каждой из единичных эпюр умножаются на найденное значение соответствующего неизвестного и все результаты суммируются (по отдельным точкам осей системы) с добавлением к ним ординат грузовой эпюры моментов. Или к основной системе прикладываются найденные неизвестные усилия и заданная нагрузка, а затем от их суммарного воздействия строится эпюра изгибающих моментов, которая является окончательной эпюрой и для заданной системы.