§ 6.7. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ

Эпюры внутренних усилий имеют важное значение для расчета конструкций. Поэтому рассмотрим ряд примеров построения эпюр с использованием различных приемов. На основе этих примеров сделаем некоторые общие выводы.

Построим эпюры Q и М для балки, заделанной левым концом, нагруженной на правом конце моментом (рис. 18.7, а).

По формулам (3.7) и (2.7)

В рассматриваемом случае поперечная сила равна нулю (т. е. балка находится в состоянии чистого изгиба), а изгибающий момент имеет постоянное значение.

Рис. 18.7

Рис. 19.7

По полученным выражениям Q и М на рис. 18.7, б, в построены соответствующие эпюры. Построим эпюры Q и М для балки, заделанной левым концом, нагруженной на правом конце силой Р (рис. 19.7, а).

По формулам (3.7) и (2.7)

Эпюры Q и М показаны на рис. 19.7, б, в.

Построим эпюры Q и М для балки, заделанной правым концом, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 20.7, а).

В сечениях участка балки поперечные силы и изгибающие моменты равны нулю, так как слева от любого такого сечения нет действующих на балку внешних сил:

Для участка II по формулам (3.7) и (2.7)

где — расстояние от рассматриваемого сечения до начала участка II (до начала действия нагрузки ).

Эпюры Q и М, построенные по полученным выражениям, изображены на рис. 20.7, б, в.

На границе участков поперечная сила равна нулю, а потому (см. § 5.7, вывод 7) касательная к линии, ограничивающей эпюру М, параллельна оси эпюры (в данном случае совпадает с осью эпюры).

Опорные реакции в заделке можно определить по эпюрам Q и М. Они равны соответствующим ординатам эпюр в опорном сечении балки. Эти реакции показаны на рис. 20.7, г приложенными к заданной балке, освобожденной от заделки.

Рис. 20.7

Рис. 21.7

Построим эпюры Q и М для простой балки, нагруженной в пролете одной вертикальной силой Р (рис. 21.7, а).

Из уравнения равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно точки В (рис. 21.7,б)

находим

Из уравнения

получим

Рассматриваемая балка имеет два участка (рис. 21.7, б).

Составим выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента М. По формулам (3.7) и (2.7) получим:

участок

участок II

В данном случае значения проще определить через правые силы:

Значения поперечных сил в пределах каждого участка постоянны. Эпюра Q, построенная по полученным выражениям, показана на рис. 21.7, в.

Значения изгибающих моментов линейно зависят от величины Поэтому для построения эпюры М достаточно знать две ее ординаты на каждом участке:

Значения изгибающих моментов на концах балки (при ) можно не определять. Эти моменты равны нулю, потому что концы балки опираются на шарнирные опоры, не воспринимающие изгибающих моментов. Изгибающий момент в сечении у конца балки может отличаться от нуля лишь тогда, когда оно заделано или когда к балке в этом сечении приложен внешний сосредоточенный момент.

Эпюра М, построенная по полученным значениям ординат, показана на рис. 21.7, г.

Наибольший изгибающий момент возникает в сечении под силой Р. В случае, когда сила Р приложена по середине балки (т. е. при ), наибольший момент

Из рис. 21.7 следует, что на участках балки, на которых к ней не приложена распределенная нагрузка, перпендикулярная к ее оси, значения Q постоянны, а значения М изменяются по линейному закону.

Эпюра Q в сечении, в котором к балке приложена сила Р, имеет скачок, равный Р (см. рис. 21.7, в). Следовательно, линия, ограничивающая эпюру М, в этом сечении должна иметь перелом (см. вывод 6, § 5.7); Аналогичные скачки в эпюре Q и переломы в эпюре М имеются и у опор балки, так как опорные реакции представляют собой для балки внешние сосредоточенные силы.

Построим эпюры Q и М для простой балки, нагруженной в пролете внешним моментом ЗЯ (рис. 22.7, а). Из уравнения момента всех сил относительно шарнира В (рис. 22.7, б)

находим

Из уравнения

имеем

Полученное отрицательное значение реакции указывает на то, что в действительности она направлена не вверх, как это принято, а вниз. Оставляем реакцию RA направленной вверх, но значение ее считаем отрицательным, хотя можно направить ее вниз и считать положительной.

Рассматриваемая балка имеет два участка. Составляем для них выражения Q и М [с помощью формул (3.7) и (2.7)]: участок )

Рис. 22.7

участок II

Из выражений видно, что поперечная сила во всех сечениях балки равна Определяем значения изгибающих моментов: при

Эпюры, построенные по полученным значениям Q и М, изображены на рис. 22.7, в, г.

Рис. 23.7

Прямые, ограничивающие эпюру М на обоих участках, параллельны друг другу. Это связано с тем, что поперечные силы на обоих участках одинаковы. Эпюра М в сечении, в котором к балке приложен внешний момент, имеет скачок, равный величине этого момента.

Построим эпюры для простой балки, нагруженной по всей длине равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 23.7, а).

Опорные реакции RA и RB (рис. 23.7, б), очевидно, равны друг другу, так как балка симметрична относительно своей середины.

Из уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось

при получаем

Составим выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента М в сечении балки с абсциссой

По формулам (3.7) и (2.7)

Нетрудно убедиться в том, что эти выражения удовлетворяют теореме Журавского (6.7):

Поперечная сила в рассматриваемом примере изменяется по линейному закону. Следовательно, для построения эпюры Q достаточно определить два ее значения:

Построенная по этим значениям эпюра Q изображена на рис. 23.7, в.

Изгибающий момент в рассматриваемом примере изменяется по закону квадратной параболы. Для построения эпюры М определяем значения момента для сечений балки с интервалом между ними, равным

Построенная по этим значениям эпюра М изображена на рис. 23.7,г.

Построенные эпюры Q и М находятся в полном соответствии с выводами, приведенными в § 5.7. Из эпюр, например, следует, что при равномерно распределенной нагрузке q поперечная сила изменяется по длине балки по закону прямой, а изгибающий момент по закону кривой (по квадратной параболе). На левой половине балки, где поперечная сила положительна, изгибающий момент возрастает (см. рис. 23.7, в, г), а на правой (где поперечная сила отрицательна) он убывает; это находится в соответствии с выводом 2, изложенным в § 5.7.

В сечении с абсциссой изгибающий момент достигает максимума, а поперечная сила равна нулю (вывод 7, § 5.7).

Из формул (5.7) и (6.7) можно получить следующую зависимость:

Известно, что если вторая производная положительна, то кривая, выражающая зависимость обращена выпуклостью вниз.

Следовательно, при распределенной нагрузке, направленной вверх (т. е. положительной), эпюра М обращена выпуклостью вниз, а при распределенной нагрузке, направленной вниз, эпюра М обращена выпуклостью вверх. В рассматриваемом случае нагрузка q направлена вниз, а потому эпюра М обращена выпуклостью вверх (см. рис. 23.7, г).

На основании теоремы Журавского [формула (6.7)]

и, следовательно,

откуда

или

Здесь индексы при М указывают на абсциссы тех сечений, в которых действуют моменты — величина площади эпюры поперечных сил на участке балки от до Плошадь эпюры определяется по значениям поперечных сил Q и расстояний

Таким образом изменение величины изгибающего момента на участке балки от до равно площади эпюры поперечных сил на этом участке.

Формулы (8.7) и (9.7) применимы при условии, что на участке между к балке не приложены внешние моменты.

Определим с помощью формулы (8.7) изгибающий момент в среднем сечении (т. е. при ) рассматриваемой балки (рис. 23.7):

но так как

Определим теперь с помощью формулы (8.7) изгибающий момент в сечении с абсциссой (рис. 23.7, г):

где - площадь трапеции 1-2-3-4 на эпюре Q (рис. 23.7,в).

Так как , то

где из подобия треугольников 1-4-5 и 2-3-5 (рис. 23.7, в)

Следовательно,

Это выражение совпадает с выражением М, полученным выше.

Дифференциальная зависимость между Q и q, выражаемая формулой (5.7), аналогична зависимости между М и Q по формуле (6.7). Поэтому между эпюрами Q и q существует такая же зависимость, как и между эпюрами М и

Следовательно, изменение величины поперечной силы на участке балки от до равно площади эпюры распределенной нагрузки q на этом участке:

Эта формула справедлива при условии, что в пределах рассматриваемого участка к балке не приложены сосредоточенные силы.

На основании проделанных примеров можно установить следующий порядок построения эпюр Q и М:

1. Составляется расчетная схема балки (в виде оси) с изображением действующих на нее нагрузок.

2. Отбрасываются опоры, а их влияние на балку заменяется соответствующими реакциями; указываются обозначения реакций и принятые их направления.

3. Составляются уравнения равновесия балки, решением которых определяются значения опорных реакций,

4. Балка разбивается на участки, границами которых являются точки приложения внешних сосредоточенных сил и моментов, а также точки начала и окончания действия или изменения характера распределенных нагрузок.

5. Составляются выражения изгибающих моментов М и поперечных сил Q для каждого участка балки.

На расчетной схеме указывается начало и направление отсчета расстояний х для каждого участка.

6. По полученным выражениям вычисляются ординаты эпюр для ряда сечений балки в количестве, достаточном для изображения этих эпюр.

7. Определяются сечения, в которых поперечные силы равны нулю и в которых, следовательно, действуют моменты Мтах или вычисляются значения этих моментов.

8. По полученным значениям ординат строятся эпюры.

9. Производится проверка построенных эпюр путем сопостав ления их друг с другом.

В ряде случаев отдельные этапы построения эпюр из приведенных выше можно не выполнять. Например, можно не изображать балку без опор, а обозначения и направления опорных реакций указывать на расчетной схеме балки; при расчете балок, заделанных одним концом, нет необходимости определять опорные реакции и т. д.

Эпюры Q и М можно строить, не составляя выражений для Q и а ограничиваясь вычислением значений поперечных сил и изгибающих моментов в характерных сечениях балки и используя выводы из дифференциальных зависимостей (5.7) и приведенные в § 5.7.

Для иллюстрации такого приема построения эпюр Q и М рассмотрим балку на двух опорах, изображенную на рис. 24.7, а.

Из уравнений равновесия

получаем

Найденные значения опорных реакций указаны на рис. 24.7, а.

Строим эпюру Q (рис. 24.7,б), рассуждая Следующим образом. На участках III и IV эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс, так как на этих участках отсутствует распределенная нагрузка. На участке поперечная сила постоянна и равна так как слева от любого сечения этого участка действует только направленная вниз сила . На границе участков поперечная сила скачкообразно возрастает на так как в сечении на этой границе приложена направленная вверх сосредоточенная сила На границе участков II и III поперечная сила также скачкообразно уменьшается на так как в сечении на этой границе приложена направленная вниз сосредоточенная сила На участках III и IV поперечные силы одинаковы, так как проекция пары сил (момента ), приложенной на границе этих участков, на любую ось равна нулю. На участке V поперечная сила уменьшается от левого конца участка (где она равна ) к правому по закону прямой, так как интенсивность q распределенной нагрузки постоянна. На правом конце балки (в конце участка V) поперечная сила равна опорной реакции RB, взятой с обратным знаком, т. е. равна — это непосредственно следует из выражения (3.7).

При построении эпюры М (рис. 24.7, в) будем рассуждать следующим образом.

На участках I, II, III и IV эпюра М ограничена прямыми, так как в пределах каждого из них поперечная сила постоянна; поэтому для построения эпюры вычисляем значения М в начале и конце каждого из этих участков:

Рис. 24.7

в начале участка I (на левом конце балки)

в конце участка I и в начале участка II

в конце участка II и в начале участка III

в конце участка III

в начале участка IV

в конце участка IV

Заметим, что значения М в конце участка III и в начале участка IV отличаются на что соответствует величине внешнего момента, приложенного к балке на границе этих участков.

На участке V эпюра М ограничена кривой (квадратной параболой); прямая, ограничивающая эпюру М на участке IV, является касательной к этой кривой в точке а (на границе участков IV и V), так как величины поперечных сил в конце участка IV и в начале участка V одинаковы (рис. 24.7, б). На правом конце балки (в конце участка V) изгибающий момент равен нулю.

Из эпюры Q следует, что поперечная сила на участке V равна нулю в сечении, отстоящем на расстоянии от начала этого участка. В этом сечении изгибающий момент имеет максимальное значение:

При построении кривой, ограничивающей эпюру М на участке V, следует иметь в виду, что она на границе участков IV и V (в точке а) имеет общую касательную (сливающуюся с прямой для участка IV), в точке b имеет максимум и проходит через точку с на правой опоре (рис. 24.7, в).

Эпюру М можно построить и другим способом, а именно по площадям эпюры Q, используя уже построенную эпюру Q и зависимость (9.7). Покажем применение этого способа для балки, изображенной на рис. 24.7. В начале участка балки (на левом ее конце) . В пределах участка I изгибающий момент изменяется на величину площади эпюры Q на этом участке [в соответствии с выражением (9.7)], т. е. на и, следовательно, на границе участков

В пределах участка II площадь эпюры Q равна:

и, следовательно, в конце участка II

В пределах участка III площадь эпюры Q равна:

а потому в конце участка III

В сечении на границе участков 111 и IV приложен сосредоточенный момент а потому в этом сечении изгибающий момент скачкообразно возрастает на и становится равным (в начале участка IV)

В пределах участка IV изгибающий момент увеличивается на площадь эпюры Q на этом участке, равную

и в конце участка IV принимает значение

В пределах всего участка V площадь эпюры Q равна:

и, следовательно, в конце участка V изгибающий момент

Такой результат получается потому, что правый конец балки опирается на шарнирную опору и к нему не приложен сосредоточенный момент.

Значение в сечении участка V, отстоящем на расстоянии 0,6 м от начала этого участка, можно найти, прибавив к моменту (на границе участков IV и V) площадь эпюры Q, равную

Тогда

Способ построения эпюры М по площадям эпюры Q позволяет легко проверять эпюры М, полученные другими способами.

Рассмотрим теперь действие нагрузок и q на балку, заделанную правым концом (рис. 25.7, а). Эпюры Q и М от каждой из этих нагрузок уже построены (см. рис. 18.7-20.7).

На основании принципа независимости действия сил (см. § 6.1) эпюры внутренних усилий от одновременного действия нагрузок Р,

и q можно получить путем суммирования эпюр, построенных от каждой из них. В соответствии с этим на рис. 25.7, б, в, г показаны эпюры Q от раздельного действия каждой нагрузки. Путем суммирования этих эпюр получена эпюра Q от всей заданной нагрузки, показанная на рис. 25.7, д. Аналогично на рис. 25.7, и изображена эпюра М от всей заданной нагрузки, полученная путем суммирования эпюр М от раздельного действия нагрузок (рис. 25.7, е, ж, з).

(см. скан)

Рис. 25.7

(см. скан)

Рис. 26.7

В некоторых случаях для построения эпюры от заданной нагрузки приходится суммировать эпюры разных знаков и более сложного вида. В таких случаях производится суммирование ординат этих эпюр для ряда сечений балки, а затем по полученным значениям суммарных ординат строится эпюра.

Любой участок некоторой длины а, выделенный из балки, при построении эпюр Q и М можно рассматривать как простую балку с пролетом а, лежащую на двух опорах. Для примера выделим среднюю треть из балки, показанной на рис. 25.7, а. На выделенный участок длиной (рис. 26.7, а) действуют распределенная нагрузка q, а также сосредоточенные силы и моменты, заменяющие воздействие соседних участков балки. Эти силы и моменты равны внутренним усилиям в поперечных сечениях балки, совпадающих с границами выделенного участка. Величины их указаны на эпюрах Q и М, построенных для всей балки (рис. 25.7, д, и).

Выделенный участок балки находится в равновесии. Эпюры Q и М, построенные для выделенного участка балки, показаны на рис. 26.7, б, в. Они полностью совпадают с соответствующими участками эпюр Q и М, изображенных на рис. 25.7, д, и для всей балки.

Выделенный из балки участок (рис. 26.7, а) можно рассматривать как простую балку пролетом загруженную по концам сосредоточенными моментами и а в пролете — равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 26.7, г).

Если из условий равновесия этой балки определить реакции ее опор то они окажутся равными соответственно , т. е. поперечным силам, которые действуют в торцовых сечениях выделенного участка (см. рис. 26.7, а). Очевидно, что эпюры Q и М, построенные для простой балки (рис. 26.7, г), совпадут с эпюрами для выделенного участка, показанными на рис. 26.7, б, в.

Эпюру М для простой балки пролетом нагруженной, как показано на рис. 26.7, г, можно, на основании принципа независимости действия сил, рассматривать как сумму двух эпюр: 1) эпюры М от моментов приложенных по концам балки (рис. 26.7, 3), имеющей форму трапеции (рис. 26.7, е); 2) эпюры М от равномерно распределенной нагрузки q (рис. 26.7, ж), имеющей форму выпуклой квадратной параболы с наибольшей ординатой посредине пролета, равной (рис. 26.7, э), и площадью

Из рассмотренного примера можно сделать следующий вывод. Эпюру изгибающих моментов на любом участке балки, на котором к ней приложена только равномерно распределенная нагрузка q, можно рассматривать как сумму двух эпюр: 1) эпюры, имеющей вид трапеции, и 2) эпюры, имеющей вид выпуклой квадратной параболы с максимальной ординатой посредине участка, равной (где с — длина участка), и площадью

Примеры такого расчленения эпюр на две составляющие эпюры показаны на рис. 27.7.

Построим теперь эпюры М, Q и N для ломаного бруса, изображенного на рис. 28.7, а.

Рис. 27.7

Условимся нижний конец вертикального элемента бруса считать левым концом; в соответствии с этим на рис. 28.7, а отметим нижний конец вертикального элемента крестиком.

Рис. 28.7

Брус имеет два участка. Для каждого из них составляем уравнения изгибающих моментов, продольных и поперечных сил.

Участок

По формулам (2.7) — (4.7) определяем внутренние усилия в сечении вертикального элемента АВ, отстоящем на расстоянии от верхнего его конца:

Участок

По тем же формулам (2.7)-(4.7) определяем внутренние усилия в сечении горизонтального элемента отстоящем на расстоянии от левого его конца:

Построенные по полученным данным эпюры М, Q и N изображены на рис. 28.7, б, в, г.

Отметим, что полученные выражения не удовлетворяют теореме Журавского [формуле (6.7)]. Действительно,

а по теореме Журавского

Такое положение является результатом того, что для участка бруса положительным для оси принято направление справа налево, в то время как при выводе формулы (6.7) положительным принято направление слева направо.

Проверим равновесие узла В бруса. Для этого выделим его из бруса и приложим к нему внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях, бесконечно близких к узлу В (рис. 28.7, д).

Составим уравнение равновесия узла В:

Здесь МВА — изгибающий момент в сечении В элемента В А; N— продольная сила в сечении В элемента ВС и т. д.

Таким образом, условия равновесия удовлетворяются. На рис. 25.7, д направления сил и моментов увязаны с эпюрами М, Q и N (рис. 28.7, б, в, г) и правилом знаков для внутренних усилий. Так, например, из эпюры Q (рис. 28.7, в) видно, что поперечная сила QBA отрицательна; в соответствии с этим ей на рис. 28.7, д дано такое направление, при котором она стремится вращать узел В против часовой стрелки.

Условия равновесия должны удовлетворяться при любом числе стержней, сходящихся в рассматриваемом узле. Если к узлу приложены внешние сосредоточенные силы и моменты, то их также следует учитывать при рассмотрении равновесия узла.

С помощью формул (5.7) — (10.7) не только может проверяться соответствие между действующей на балку нагрузкой, эпюрой Q и эпюрой М. Эти формулы позволяют также по эпюре М построить эпюру Q и определить действующую на балку нагрузку. Покажем это на следующем примере. На рис. 29.7, а изображена эпюра М, состоящая из четырех участков. На участке длиной эпюра очерчена по параболе второго порядка а на участке II — по прямой (касательной к параболе в точке С).

В начальном сечении А касательная к эпюре М совпадает с осью эпюры, т. е.

Следовательно, на основании (7.7) в этом сечении

На участке II величина изменяется по линейному закону и, следовательно,

По формуле (7.7)

На границе участков эпюра Q не имеет скачка, так как в точке С линии, ограничивающие эпюру М, сопрягаются без перелома (рис. 29.7, а).

Рис. 29.7

Таким образом, ординаты эпюр Q в начале и конце участка I уже известны. Соединяем вершины этих ординат прямой, так как на протяжении этого участка поперечная сила изменяется по прямой На участке II эпюра Q имеет вид прямоугольника с ординатами, равными (рис. 29.7, б).

На участке III и IV величины изменяются по линейному закону; следовательно, . На основании формулы (7.7)

Поперечные силы отрицательны, так как отрицательны углы

По этим значениям строим эпюру Q на участках III и IV (рис. 29.7, б).

Переходим к определению действующей на балку нагрузки.

На участках и II эпюры М и Q не имеют скачков. Следовательно, на этих участках к балке не приложены сосредоточенные силы и моменты. На первом участке величины Q изменяются по линейному закону и, следовательно, По формуле (10.7)

откуда

В пределах участков II, III и IV ординаты эпюр Q постоянны; поэтому здесь нет распределенной нагрузки. При переходе от участка II к III имеется скачок в эпюре Q, равный Следовательно, в этом сечении к балке приложена вертикальная сосредоточенная сила направленная вниз.

На границе участков III и IV имеется скачок в эпюре М, равный Это означает, что в данном сечении к балке приложен внешний сосредоточенный момент

На правом конце балки (в сечении В) поперечная сила имеет скачок от до нуля, т. е. скачок, равный а изгибающий момент имеет скачок, равный Следовательно, на правом конце балки к ней приложены сосредоточенная сила и сосредоточенный момент Действующая на балку нагрузка показана на рис. 29.7, в.