§ 2.12. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СИЛ

Известно, что при определении усилий в статически неопределимой системе необходимо составлять дополнительные уравнения — уравнения деформаций (перемещений) системы. Для этого прежде всего следует превратить заданную статически неопределимую систему в статически определимую, устранив из нее лишние связи. Полученная таким путем статически определимая система называется основной системой.

Устранение каких-либо связей не изменяет внутренних усилий, возникающих в системе, и ее деформаций, если к ней прикладываются дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Поэтому если к основной системе кроме заданной нагрузки приложить реакции устраненных связей, то ее деформации и возникающие в ней внутренние усилия будут такими же, как и в заданной системе, т. е. обе эти системы станут совершенно эквивалентными.

В заданной системе в направлениях имеющихся связей (в том числе и тех, которые отброшены при переходе к основной системе) перемещений быть не может. Поэтому в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны быть равны нулю. Следовательно, реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направлениям равняются нулю.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой из отброшенных связей на основании принципа независимости действия сил можно выразить в следующем виде:

Первый из каждого двойного индекса при А означает направление перемещения (и одновременно номер отброшенной связи); второй дает указание на причину, вызвавшую перемещение. Таким образом, слагаемые представляют собой перемещения по направлению реакции связи вызванные соответственно реакцией связи k и заданной нагрузкой.

Обозначив через величину реакции связи k и выразив перемещения через единичные перемещения с помощью равенства условие (2.12) представим в следующем виде:

Таким образом, условие эквивалентности основной и заданной систем математически сводится к удовлетворению следущей системы линейных уравнений:

Уравнения (3.12) являются теми дополнительными уравнениями деформаций (перемещений), которые позволяют раскрыть статическую неопределимость заданной системы. Первое из них выражает равенство нулю перемещения в основной системе по направлению первой отброшенной связи (по направлению усилия ), второе — по направлению второй отброшенной связи и т. д.

Уравнения (3.12) называются каноническими уравнениями метода сил. Такое название указывает на то, что эти уравнения составляются по определенному правилу (канону) и что неизвестными в этих уравнениях являются силы, представляющие собой реакции отброшенных связей. Число уравнений равно числу отброшенных связей, т. е. степени статической неопределимости заданной системы.

Коэффициент системы канонических уравнений представляет перемещение по направлению вызванное силой, равной единице, действующей по направлению k.

Единичные перемещения имеющие два одинаковых индекса, называются главными в отличие от побочных перемещений имеющих разные индексы.

В соответствии с теоремой о взаимности перемещений

Наличие такой зависимости уменьшает объем вычислений при определении коэффициентов канонических уравнений.

Для подсчета коэффициентов рекомендуется построить единичные эпюры М изгибающих моментов в основной системе (т. е. эпюры от действия каждого неизвестного снабдив каждую из них номером соответствующего неизвестного. Отдельно следует построить грузовую эпюру (эпюру ). Единичное перемещение вычисляется умножением эпюры на эпюру МЛ, а грузовое перемещение — умножением эпюры на грузовую эпюру

Главные перемещения всегда положительны; побочные перемещения и грузовые перемещения могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

После вычисления всех единичных перемещений, являющихся коэффициентами при неизвестных в системе канонических уравнений, а также и свободных (грузовых) членов этих уравнений определяют значения неизвестных, решая эти уравнения. Затем строят для основной системы эпюры изгибающих моментов от каждого из найденных усилий, т. е. от Для этого можно использовать построенные ранее единичные эпюры, ординаты которых необходимо теперь умножить на найденные значения соответствующих неизвестных. Просуммировав по характерным точкам (на протяжении всей рассчитываемой конструкции) ординаты эпюр от действия всех сил X с ординатами грузовой эпюры, получим окончательную (суммарную) эпюру изгибающих моментов в заданной статически неопределимой системе.

Окончательную эпюру изгибающих моментов можно построить и следующим образом. К основной системе прикладывают найденные неизвестные усилия и заданную нагрузку, а затем от их суммарного воздействия строят обычными приемами, изложенными в гл. 7 (как для статически определимой системы), окончательную эпюру изгибающих моментов.

Для расчета одной и той же конструкции можно использовать различные основные системы. Из них необходимо выбрать наиболее рациональную. При этом следует стремиться к тому, чтобы максимально возможное количество побочных перемещений равнялось нулю, а эпюры изгибающих моментов для основной системы были наиболее простыми.

Рассмотрим для примера два варианта основной системы, с помощью которых можно рассчитать раму, изображенную на рис. 8.12, а. Если удалить три связи, препятствующие горизонтальному и вертикальному перемещениям, а также повороту левого опорного сечения рамы, то основная система примет вид, показанный на рис. 8.12, б. Неизвестные в этом случае представляют собой реакции удаленных связей, а канонические уравнения выражают условие отсутствия перемещений по направлениям этих связей.

За основную можно принять систему, изображенную на рис. 8.12, в полученную путем разреза горизонтального элемента (ригеля) заданной рамы.

Рис. 8.12

В результате такого разреза рама теряет три связи, препятствующие не перемещению и повороту какого-либо сечения рамы, а смещению по горизонтали и по вертикали и повороту смежных поперечных сечений в месте разреза друг относительно друга. В соответствии с этим каждое из неизвестных X,, и состоит не из одной, а из двух сил или моментов, направленных в противоположные стороны, т. е. является групповым неизвестным.

Система канонических уравнений имеет тот же вид независимо от выбранной основной системы.

При основной системе, изображенной на рис. 8.12, б, величина представляет собой горизонтальное перемещение левого конца рамы от вертикальной силы для системы же, показанной на рис. 8.12, в, величина представляет собой взаимное перемещение по вертикали смежных сечений в месте разреза, вызванное горизонтальными силами (т. е. групповой горизонтальной силой).

Для расчета рассматриваемой рамы (рис. 8.12, а) за основную целесообразнее использовать систему, показанную на рис. 8.12, в, так как изгибающие моменты от заданной нагрузки в этой основной системе возникают лишь в пределах левой стойки рамы; при основной же системе, изображенной на рис. 8.12, б, изгибающие моменты от заданной нагрузки возникают во всех трех элементах рамы.