ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА

Пример 1.12 (к § 1.12). Установить степень статической неопределимости систем, изображенных на рис. 18.12, а, б, в.

Решение. По формуле (1.12) определяем степени статической неопределимости систем (при этом шарнирно неподвижную опору рассматриваем как шарнир, прикрепленный к земле — (рис. 18.12, г)).

а) для системы, изображенной на рис. 18.12, я,

б) для системы, изображенной на рис. 18.12, б,

в) для системы, изображенной на рис. 18.12, в,

Пример 2.12 (к § 2.12, 3.12 и 5.12). Построить эпюры и N для статически неопределимой рамы, изображенной на рис. 19.12, а.

Решение. Заданная рама дважды статически неопределима. За основную принимаем статически определимую систему, показанную на рис. 19.12, б.

Составляем канонические уравнения:

Строим в основной системе эпюры изгибающих моментов от сил (эпюра на рис. 19.12, в), (эпюра на рис. 19.12, г) и заданной нагрузки (эпюра на рис. 19.12, д).

Перемещение определяем путем умножения эпюры на

Перемещение находим, умножив эпюру на

Для вычисления перемещения умножаем эпюру на эпюру

По теореме о взаимности перемещений,

Рис. 18.12

(см. скан)

Рис. 19.12.

При рычислении перемещений от нагрчки эпюру на участке ВС ригеля разбиваем на две части, показанные на рис. 19.12, е:

Подставим найденные величины перемещении в канонические уравнения и сократим их на общин множитель

Решив эту систему уравнении, найдем:

Прикладываем к основной системе заданную нагрузку и найденные неизвестные чсилия, причем силу направляем справа налево, так как она отрицательна (рис. 19.12, ж).

Эпюры М, Q и N от этих сил для основной системы (рис. 19.12, з, и, к) являются и окончательными эпюрами для заданной системы.

Построим теперь окончательные эпюры М, Q и N другим способом. Умножим все ординаты эпюры (рис. 19.12, в) на а ординаты эпюры о — на полученные таким путем эпюры изображены на рис. 19.12, л, м. Сложив эпюры (рис. 19.12, л, м, д), получим окончательную эпюру М (рис. 19.12, з).

По формуле (9.12) определяем значения поперечных сил:

В сечении консоли АВ продольная сила равна нулю Для определения продольных сил в стержне ВС и в стержне BD составляем условия равновесия для узла В (рис. 19.12, н):

откуда

откуда

Эпюры Q и N, построенные по полученным данным, совпадают с эпюрами, изображенными на рис. 19.12, и, к.

Пример 3.12 (к § 6.12). Произвести статическую и деформационную проверки окончательных эпюр, изображенных на рис. 19.12, з, и, к, а также определить вертикальное перемещение свободного конца консоли (см. рис. 19.12, а).

Решение. Выделим из рамы сечением, проходящим через середины элементов А В, ВС и BD, часть, показанную на рис. 20.12, а, и приложим к ней действующие на нее усилия (рис. 20.12, б). Значения этих усилий и их направления устанавливаем по эпюрам М, Q и N (см. рис. 19.12, з, и, к).

Проверяем равновесие выделенной части рамы (см. рис. 20.12, б):

Таким образом, статическая проверка удовлетворяется.

Для деформационной проверки окончательною эпюру М (см. рис. 19.12, з) умножим на единичные эпюры (см. рис. 19.12, в, г):

т. е. деформационная проверка удовлетворяется.

Для определения вертикального перемещения свободного конца консоли прикладываем к нему вертикальную единичную силу (к статически определимой системе, полученной из заданной системы путем отбрасывания лишних связей и показанной на рис. 20.12, в).

Рис. 20.12

Умножая эпюру М от единичной силы (рис. 20.12, в) на окончательную эпюру М (см. рис. 19.12, з), находим искомое перемещение:

Пример 4.12 (к § 2.12-6.12). Построить эпюры М, Q и N для рамы с элементами различной жесткости, изображенной на рис. 21.12, а. Произвести статическую и деформационную проверки полученных эпюр.

Решение. Заданная рама четырежды статически неопределима. В качестве основной принимаем систему, показанную на рис. 21.12, б. Неизвестными являются продольные и поперечные силы в средних сечениях горизонтальных элементов (ригелей) рамы. Неизвестные симметричны, а кососимметричны. В связи с этим в системе канонических уравнений

(см. скан)

Рис. 21.12

коэффициенты равны нулю и система распадается на две независимые системы уравнений: первую систему

и вторую систему

Для определения коэффициентов и грузовых членов строим единичные эпюры и грузовую эпюру (рис. 21.12, в, г, д, е, ж).

Определяем значения путем перемножения соответствующих эпюр:

Умножаем найденные значения на и подставляем полученные произведения в канонические уравнения:

Решив эти уравнения, найдем:

На рис. 21.12, з показана основная система с приложенными к ней заданной нагрузкой q и найденными силами Построенные для основной системы от этих нагрузок эпюры М, Q и N (рис. 21.12, и, к, л) являются окончательными эпюрами и для заданной системы.

Для статической проверки вырежем из рамы часть, показанную на рис. 21.12, ж, и рассмотрим ее равновесие. Усилия, действующие на эту часть рамы, взяты из эпюр, изображенных на рис. 21.12, и, к, л:

Деформационную проверку проведем, умножив окончательную эпюру М (см. рис. 21.12, и) на единичную эпюру (см. рис. 21.12, б):

Аналогично должны равняться нулю результаты умножения окончательной эпюры М и на другие единичные эпюры.

Рис. 22.12

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.12 (к § 1.12). Установить степень статической неопределимости систем, изображенных на рис. 22.12.

Ответ: а) шесть раз; б) три раза; в) семь раз; г) два раза; д) три раза; е) два раза.

Задача 2.12. (к § 2.12-6.12). Построить эпюры М, Q и N для систем, изображенных на рис. 23.12, и произвести их проверку.

Ответ: эпюры показаны на рис. 24.12.