Примеры расчета

Пример 1.3 (к § 2.3 и 5.3). Для напряженного состояния, изображенного на рис. 18.3, а, определить аналитически и графически (с помощью круга Мора) напряжения по площадке

Решение, а) Аналитическое решение.

Рис. 18.3

В соответствии с правилом знаков, приведенным в § 2.3, устанавливаем:

По формулам (6.3) и (7.3):

Напряжения показаны на рис. 18.3, б.

б) Решение с помощью круга Мора. Для заданного напряженного состояния (см. рис. 18.3, а) строим круг Мора (рис. 19.3) и находим полюс С (проводя для этого вертикаль через точку А). Из точки С проводим луч СМ параллельно площадке (рис. 18.3, а) до пересечения с окружностью. Координаты точки М дают значения напряжений

Пример 2.3 (к § 2.3). Для напряженного состояния, изображенного на рис. 20.3, определить напряжения

Решение. В соответствии с нравилом знаков, приведенным в § 2.3, устанавливаем (или 150°).

По формуле (6.3);

откуда

По формуле (7.3):

откуда

Решив совместно уравнения (а) и (б), найдем: (растяжение); (сжатие).

Рис. 19.3

Рис. 20.3

Пример 3.3 (к § 3.3, 4.3 и 5.3). Для напряженного состояния, изображенного на рис. 21.3, а, найти аналитически и графически (с помощью круга Мора) главные нормальные и экстремальные касательные напряжения, а также определить положения площадок, по которым эти напряжения действуют.

Решение, а) Аналитическое решение. По формуле (12.3)

Следовательно, атах

По формуле (15.3)

Следовательно, ттах

Для определения положения главных площадок используем указания, приведенные в § 3.3. По формуле (10.3)

откуда .

Для определения площадки, по которой действуют напряжения атах, поворачиваем горизонтальную площадку (так как по ней действуют нормальные напряжения, большие, чем по вертикальной площадке) на по часовой стрелке, т. е. в том направлении, в котором вектор касательного напряжения (на поворачиваемой площадке) стремится вращать элементарный параллелепипед относительно его центра. Найденная таким путем главная площадка показана на рис. 21.3, б.

Рис. 21.3

По перпендикулярной к ней главной площадке действуют напряжения На рис. 21.3, б показаны также площадки, по которым действуют экстремальные касательные напряжения и направления этих напряжений, б) Решение с помощью круга Мора. Для заданного напряженного состояния (рис. 21.3, а) строим круг Мора (рис. 22.3) и находим полюс С (проведя для этого вертикаль через точку А).

Рис. 22.3

На окружности отмечаем точки (соответствующую площадке с атах), 2 (площадке с (площадке с ттах) и 4 (площадке с ).

Лучи, соединяющие эти точки с точкой С, параллельны площадкам, по которым действуют соответствующие напряжения. Измерением (в принятом масштабе) абсцисс точек 1 и 2, а также ординат точек 3 и 4 определяем величины

Пример 4.3 (к § 8.3 и 9.3). Для пространственного напряженного состояния с главными напряжениями найти относительное изменение объема и удельную потенциальную энергию (полную, изменения объема и изменения формы).

Принять:

Решение. По формуле (29.3) находим относительное изменение объема:

По формуле (36.3) определяем полную удельною потенциальную энергию деформации:

По формуле (39.3) находим удельную потенциальную энергию изменения объема:

По формуле (41.3) находим удельную потенциальную энергию изменения формы:

Проверяем выполнение равенства (42.3):

Пример 5.3 (к § 7.3). Стальной кубик, вставленный без зазоров между двумя жесткими стенками и опирающийся нижней гранью на неподвижнее основание, сжимается нагрузкой (рис. 23.3). Коэффициент Пуассона Вычислить напряжения по боковым граням и деформации ребер кубика, пренебрегая трением кубика о жесткие стенки.

Рис. 23.3

Решение. Проведем оси параллельные ребрам кубика (рис. 23.3). Из условия равновесия в виде суммы проекций всех сил на ось следует, что по нижней грани кубика действуют такие же нормальные напряжения, как и по верхней грани знак «минус» указывает на то, что эти напряжения сжимающие. В направлении оси у напряжения равны нулю . В направлении же оси равны нулю деформации кубика так как кубик зажат между жесткими стенками и лишен возможности деформироваться в этом направлении.

По обобщенному закону Гука

Подставляем сюда и приравниваем нулю:

откуда

Найдем относительные деформации в направлениях осей z и

Таким образом,

Пример 6.3 (к § 2.3 и 7.3). Стальной стержень (рис. 24.3) испытывает центральное растяжение. Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня Определить относительную деформацию в направлении, составляющем угол с продольной осью стержня. Дано:

Рис. 24.3

Решение. Выделим мысленно из стержня два элементарных параллелепипеда (рис. 24.3, я): боковые грани первого из них (рис. 24.3, б) параллельны и перпендикулярны к оси стержня, а второго (рис. 24.3, в) составляют углы, равные 45° с продольной осью стержня. Оба параллелепипеда находятся в условиях одноосного напряженного состояния с главными напряжениями оого, . Грани обоих параллелепипедов, параллельные плоскости чертежа, свободны от напряжений. Напряжения, действующие по остальным граням, показаны на рис. в.

Напряжения (рис. 24.3, в) определяем по формуле (6.3):

По формуле (27.3) определяем относительную деформацию ребер второго параллелепипеда (рис. 24.3, в), которая и представляет собой относительную деформацию стержня в направлении, составляющем угол с его осью: