ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Физика > Сопротивление материалов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Макеты страниц

Примеры расчета

Пример 1.3 (к § 2.3 и 5.3). Для напряженного состояния, изображенного на рис. 18.3, а, определить аналитически и графически (с помощью круга Мора) напряжения по площадке

Решение, а) Аналитическое решение.

Рис. 18.3

В соответствии с правилом знаков, приведенным в § 2.3, устанавливаем:

По формулам (6.3) и (7.3):

Напряжения показаны на рис. 18.3, б.

б) Решение с помощью круга Мора. Для заданного напряженного состояния (см. рис. 18.3, а) строим круг Мора (рис. 19.3) и находим полюс С (проводя для этого вертикаль через точку А). Из точки С проводим луч СМ параллельно площадке (рис. 18.3, а) до пересечения с окружностью. Координаты точки М дают значения напряжений

Пример 2.3 (к § 2.3). Для напряженного состояния, изображенного на рис. 20.3, определить напряжения

Решение. В соответствии с нравилом знаков, приведенным в § 2.3, устанавливаем (или 150°).

По формуле (6.3);

откуда

По формуле (7.3):

откуда

Решив совместно уравнения (а) и (б), найдем: (растяжение); (сжатие).

Рис. 19.3

Рис. 20.3

Пример 3.3 (к § 3.3, 4.3 и 5.3). Для напряженного состояния, изображенного на рис. 21.3, а, найти аналитически и графически (с помощью круга Мора) главные нормальные и экстремальные касательные напряжения, а также определить положения площадок, по которым эти напряжения действуют.

Решение, а) Аналитическое решение. По формуле (12.3)

Следовательно, атах

По формуле (15.3)

Следовательно, ттах

Для определения положения главных площадок используем указания, приведенные в § 3.3. По формуле (10.3)

откуда .

Для определения площадки, по которой действуют напряжения атах, поворачиваем горизонтальную площадку (так как по ней действуют нормальные напряжения, большие, чем по вертикальной площадке) на по часовой стрелке, т. е. в том направлении, в котором вектор касательного напряжения (на поворачиваемой площадке) стремится вращать элементарный параллелепипед относительно его центра. Найденная таким путем главная площадка показана на рис. 21.3, б.

Рис. 21.3

По перпендикулярной к ней главной площадке действуют напряжения На рис. 21.3, б показаны также площадки, по которым действуют экстремальные касательные напряжения и направления этих напряжений, б) Решение с помощью круга Мора. Для заданного напряженного состояния (рис. 21.3, а) строим круг Мора (рис. 22.3) и находим полюс С (проведя для этого вертикаль через точку А).

Рис. 22.3

На окружности отмечаем точки (соответствующую площадке с атах), 2 (площадке с (площадке с ттах) и 4 (площадке с ).

Лучи, соединяющие эти точки с точкой С, параллельны площадкам, по которым действуют соответствующие напряжения. Измерением (в принятом масштабе) абсцисс точек 1 и 2, а также ординат точек 3 и 4 определяем величины

Пример 4.3 (к § 8.3 и 9.3). Для пространственного напряженного состояния с главными напряжениями найти относительное изменение объема и удельную потенциальную энергию (полную, изменения объема и изменения формы).

Принять:

Решение. По формуле (29.3) находим относительное изменение объема:

По формуле (36.3) определяем полную удельною потенциальную энергию деформации:

По формуле (39.3) находим удельную потенциальную энергию изменения объема:

По формуле (41.3) находим удельную потенциальную энергию изменения формы:

Проверяем выполнение равенства (42.3):

Пример 5.3 (к § 7.3). Стальной кубик, вставленный без зазоров между двумя жесткими стенками и опирающийся нижней гранью на неподвижнее основание, сжимается нагрузкой (рис. 23.3). Коэффициент Пуассона Вычислить напряжения по боковым граням и деформации ребер кубика, пренебрегая трением кубика о жесткие стенки.

Рис. 23.3

Решение. Проведем оси параллельные ребрам кубика (рис. 23.3). Из условия равновесия в виде суммы проекций всех сил на ось следует, что по нижней грани кубика действуют такие же нормальные напряжения, как и по верхней грани знак «минус» указывает на то, что эти напряжения сжимающие. В направлении оси у напряжения равны нулю . В направлении же оси равны нулю деформации кубика так как кубик зажат между жесткими стенками и лишен возможности деформироваться в этом направлении.

По обобщенному закону Гука

Подставляем сюда и приравниваем нулю:

откуда

Найдем относительные деформации в направлениях осей z и

Таким образом,

Пример 6.3 (к § 2.3 и 7.3). Стальной стержень (рис. 24.3) испытывает центральное растяжение. Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня Определить относительную деформацию в направлении, составляющем угол с продольной осью стержня. Дано:

Рис. 24.3

Решение. Выделим мысленно из стержня два элементарных параллелепипеда (рис. 24.3, я): боковые грани первого из них (рис. 24.3, б) параллельны и перпендикулярны к оси стержня, а второго (рис. 24.3, в) составляют углы, равные 45° с продольной осью стержня. Оба параллелепипеда находятся в условиях одноосного напряженного состояния с главными напряжениями оого, . Грани обоих параллелепипедов, параллельные плоскости чертежа, свободны от напряжений. Напряжения, действующие по остальным граням, показаны на рис. в.

Напряжения (рис. 24.3, в) определяем по формуле (6.3):

По формуле (27.3) определяем относительную деформацию ребер второго параллелепипеда (рис. 24.3, в), которая и представляет собой относительную деформацию стержня в направлении, составляющем угол с его осью:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление