§ 4.7. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ

При расчете на прочность необходимо знать закон изменения внутренних усилий в поперечных сечениях балки по ее длине, возникающих от действующей на балку нагрузки. Этот закон можно выразить в виде аналитических зависимостей и изобразить с помощью специальных графиков, называемых эпюрами.

Эпюрой изгибающих моментов (эпюрой ) называется график, изображающий закон изменения величин этих моментов по длине балки. Аналогично эпюрой поперечных сил (эпюрой Q) или эпюрой продольных сил (эпюрой N) называется график, изображающий изменение поперечных или продольных сил по длине балки.

Каждая ордината эпюры М (или Q, или N) представляет собой величину изгибающего момента (или поперечной силы, или продольной силы) в соответствующем поперечном сечении балки.

Разберем на конкретных примерах построение эпюр для балок, находящихся под действием системы сил, расположенных в одной плоскости (параллельной плоскости чертежа).

Построим эпюры Q и М для консольной балки, заделанной правым концом, изображенной на рис. 10.7, а.

Рис. 10.7

Назовем участком балки каждую ее часть, в пределах которой законы изменения поперечной силы и изгибающего момента остаются постоянными. Границами участков являются поперечные сечения балки, в которых к ней приложены сосредоточенные нагрузки (в том числе опорные реакции) или в которых начинается либо заканчивается распределенная нагрузка, или в которых интенсивность этой нагрузки начинает изменяться по новому закону.

Рассматриваемая балка имеет четыре участка I, II, III и IV, показанных на рис. 10.7, а.

Составим [на основании формул (3.7) и (2.7)] выражения поперечной силы и изгибающего момента в поперечном сечении балки на расстоянии х от ее левого конца.

Участок :

Здесь -равнодействующая равномерно распределенной нагрузки в пределах отрезка длиной участка I. Она приложена посредине этого отрезка, а потому ее момент относительно рассматриваемого сечения равен Знак поперечной силы отрицателен потому, что проекция равнодействующей направлена вниз; знак изгибающего момента отрицателен потому, что момент действует против часовой стрелки.

В окончательные выражения значение подставляется в метрах, так как интенсивность q выражена в

Полученные выражения Q и действительны в пределах участка I, т. е. при расстоянии имеющем значения в пределах от 0 до

Зависимость от линейная, а потому для построения эпюры Q на участке достаточно определить величины при двух значениях

при (в начале участка I)

при (в конце участка I)

Зависимость М от не линейная, а квадратичная. Для построения эпюры М на участке вычисляем величины при трех значениях

По полученным значениям на рис. 10.7, б, в, построены эпюры Q и М для участка балки (прямая и кривая )

Ординаты эпюр, соответствующие положительным значениям внутренних усилий, откладываем вверх от осей этих эпюр, а отрицательным — вниз (оси эпюр параллельны оси балки). При таком построении ординаты эпюр М получаются расположенными со стороны сжатых волокон балки.

Участок

где расстояние выражено в метрах.

При (в начале участка II)

при (в конце участка )

По полученным значениям на рис. 10.7,б,в построены эпюры Q и М для участка II балки (прямые к и Участок III:

При (в начале участка III)

при (в конце участка III)

По полученным значениям на рис. 10.7, б,в построены эпюры Q и М для III участка балки (прямые и с). Участок IV:

По полученным значениям на рис. 10.7,б,в построены эпюры Q и М для участка IV балки (прямые ).

Изгибающие моменты и поперечные силы в поперечных сечениях можно определить и через правые внешние силы, используя зависимости Но для этого требуется найти значения опорных реакций в заделке В балки.

Выделим теперь из балки часть CD длиной (рис. 10.7, а) и приложим к ней все действующие на нее внешние силы (рис. 10.7, г). К ним относятся сила и момент а также силы и моменты, приложенные к рассматриваемой части в поперечных сечениях С и эти силы и моменты равны поперечным силам и изгибающим моментам в сечениях С и D и представляют собой воздействие частей АС и DB на часть

Поперечная сила в сечении С балки, как это видно из эпюры Q (рис. 10.7,б), равна и отрицательна; в соответствии с принятым правилом знаков она стремится вращать часть CD балки против часовой стрелки, относительно некоторой точки Е балки (рис. 10.7, г) и, следовательно, должна быть направлена вниз. Поперечная сила QD в сечении D положительна, равна (рис. 10.7,б) и, следовательно, стремится вращать часть CD балки по часовой стрелке относительно точки ?; поэтому она должна быть направлена вниз (рис. 10.7, г).

Изгибающие моменты и MD в сечениях С и D равны соответственно т. е. они отрицательны (рис. 10.7, в); следовательно, оба они вызывают сжатие нижних и растяжение верхних волокон балки. В соответствии с этим момент направлен против часовой стрелки, а момент часовой стрелке.

Убедимся в том, что выделенная часть CD балки находится в равновесии. Для этого составим три уравнения равновесия всех действующих на нее сил (см. рис. 10.7, г):

Равенство нулю значений и свидетельствует о равновесии части CD балки.

На рис. 10.7, (3 показаны внутренние усилия, действующие в сечении В балки, совпадающем с заделанным ее концом. Их величины и направления установлены по эпюрам Q и М (рис. 10.7, б,в). Они представляют собой реакции защемления В балки.

Из эпюры Q (рис. 10.7, б) видно, что в сечении F балки, в котором к ней приложена сосредоточенная сила значение поперечной силы изменяется скачкообразно от до т. е. на величину Р.

Это является следствием того, что в выражение составляемое для сечения, расположенного на расстоянии левее силы Р, эта сила не входит; в выражение же составляемое для сечения, расположенного на расстоянии правее силы Р, она входит.

Итак, в сечении, в котором к балке приложена сосредоточенная внешняя сила, перпендикулярная к оси балки (в том числе и опорная реакция в виде сосредоточенной силы), значение поперечной силы Q изменяется скачкообразно на величину приложенной силы. Когда сосредоточенная внешняя сила направлена вверх, на эпюре Q (при перемещении слева направо) имеется скачок вверх, а когда сила направлена вниз — скачок вниз.

Аналогично в сечении, в котором к балке приложен сосредоточенный внешний момент (в том числе и опорная реакция в виде сосредоточенного момента), значение изгибающего момента М изменяется скачкообразно на величину приложенного момента. Когда сосредоточенный внешний момент действует по часовой стрелке, на эпюре М (при перемещении слева направо) имеется скачок вверх; а когда момент действует против часовой стрелки — скачок вниз. Так, например, в сечении G балки, в котором приложен к ней сосредоточенный момент (рис. 10.7, а), на эпюре М (рис. 10.7, в) имеется скачок вверх (при перемещении слева направо), равный а в сечении В—скачок вниз, равный (т. е. равный реакции опоры В в виде сосредоточенного момента, направленного против часовой стрелки).

Построим теперь эпюры Q и М для простой балки на двух опорах, изображенной на рис. 11.7, а. Балка состоит из двух участков.

Определим вертикальные опорные реакции RA и RB балки. В опоре А может возникать и горизонтальная реакция, однако при заданной вертикальной нагрузке она равна нулю. Для определения реакций и RB составим уравнения равновесия в виде сумм моментов всех сил относительно точек А и В:

или

откуда

или

откуда

Для проверки найденных значений RA и RB составим уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось:

Следовательно, реакции RA и RB определены правильно.

Рис. 11.7

Составим [на основании формул (3.7) и (2.7)] выражения поперечных сил и изгибающих моментов в поперечных сечениях балки. Участок

где — расстояние (в метрах) от левого конца балки до рассматриваемого сечения.

При (на левом конце балки в начале участка I)

при (в конце участка I)

В середине участка I (при )

На участке l балки изгибающий момент имеет максимальное значение; определение его дано ниже в § 5.7.

Участок

где — расстояние (в метрах) от правого конца балки до рассматриваемого сечения.

При (на левом конце участка 11)

при (в середине участка II)

при (на правом конце балки — в сечении В)

По полученным значениям на рис. построены эпюры. Q и М. На эпюре Q имеются уступы (скачки) в сечениях А, С и В, равные величинам внешних сил RA, Р и RB. На эпюре М уступов нет, так как на балку не действуют внешние сосредоточенные моменты.