4.11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ИНТЕГРАЛ МОРА

Универсальный метод определения перемещений (линейных перемещений и углов поворота), возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки, имеет особенно большое значение для расчета статически неопределимых систем.

Рассмотрим два состояния системы. В первом состоянии на нее действует любое число каких угодно сил и моментов (рис. 14.11, а). Во втором состоянии к системе приложена одна лишь сосредоточенная сила (рис. 14.11, б).

Составим выражение работы силы на перемещении возникающем от сил первого состояния:

Выразим (в случае плоской задачи) через внутренние усилия в стержнях системы [с помощью формул (17.11) и (20.11)]:

Условимся, что черточки над указывают на то, что эти внутренние усилия вызваны действием силы, равной единице.

Таким образом, перемещение от любой нагрузки с помощью формулы (22.11) можно выразить через внутренние усилия, возникающие в заданной системе от этой нагрузки и возникающие в ней от единичной силы. Направление единичной силы совпадает с направлением определяемого перемещения. Если определяется линейное смещение (например, прогиб какой-либо точки оси стержня), то единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную силу, приложенную в этой точке; если же определяется угол поворота поперечного сечения в какой-либо точке; оси стержня, то единичная сила представляет собой сосредоточенный момент (также безразмерный), приложенный в этой точке.

Рис. 14.11

Состояние сооружения, вызванное действием единичной силы, называется единичным состоянием (или фиктивным). В отличие от него состояние, вызванное действием заданной нагрузки, называется действительным (или грузовым).

Иногда цифровые индексы 1 и 2 в формуле (22.11) заменяются буквенными, например тип, тогда эта формула принимает вид

(23.11)

где — перемещение по направлению «силы» вызванное действием нагрузки (группы «сил» ).

При размерах поперечных сечений каждого стержня системы, постоянных по длине этого стержня, выражение (23.11) принимает вид

(24.11)

Каждое из равенств (22.11) -(24.11) носит название формулы перемещений (интеграла, или формулы, Мора).

Определение перемещений с помощью полученной формулы производится в следующем порядке:

1) находятся выражения усилий от заданной нагрузки как функции координаты произвольного сечения;

2) по направлению искомого перемещения прикладывается соответствующая ему единичная сила (при линейном перемещении — сосредоточенная сила, при угле поворота — сосредоточенный момент);

3) определяются усилия от единичной силы как функции координаты произвольного сечения;

4) найденные выражения усилий подставляются в правую часть формулы (23.11) или (24.11) и интегрированием по участкам в пределах всего сооружения определяется искомое перемещение Если положительно, то перемещение совпадает с направлением единичной силы, а если отрицательно, то противоположно этому направлению.

В случае, если элемент конструкции представляет собой брус малой кривизны (см. § 1.10), определение перемещений может выполняться по формуле Мора, полученной для прямого бруса, с заменой элемента длины в подынтегральном выражении элементом дуги (см. пример 3.11).

Рис. 15.11

Иногда, в частности при расчете статически неопределимых систем, приходится определять взаимные перемещения отдельных точек или сечений сооружений. В этом случае в направлении искомого перемещения прикладывается обобщенная единичная сила (при определении линейного перемещения) или обобщенный единичный момент (при определении взаимного угла поворота). Например, если требуется определить изменение расстояния между точками С и D оси рамы, изображенной на рис. 15.11, а, то следует в точках С и D приложить единичные силы, направленные по линии CD, как показано на рис. 15.11, б. Вычисление интеграла Мора производится по изложенным выше правилам, но при этом под единичными внутренними усилиями понимаются их значения, соответствующие одновременному действию обеих единичных сил.

В рассматриваемом случае, если результат вычислений интеграла Мора получится положительным, то это будет указывать на то, что направление искомого перемещения совпадает с направлением единичных сил, т. е. расстояние между точками С и D увеличивается; знак минус указывает на уменьшение этого расстояния, т. е. на сближение точек С и

Аналогично можно определить взаимный угол поворота любых двух сечений рамы, например сечений, соответствующих тем же точкам С и D. Для этого в указанных сечениях надо приложить единичные моменты, действующие в противоположных направлениях (рис. 15.11, в). В остальном вычисление перемещения производится обычным порядком.

Практически в большинстве случаев плоской задачи используется лишь один член формулы перемещений. Именно, если рассматриваются сооружения, преимущественно работающие на изгиб (балки, рамы, а часто и арки), то в формуле перемещений с соблюдением вполне достаточной точности можно оставить только интеграл, зависящий от изгибающих моментов. При расчете сооружений, элементы которых работают в основном на центральное растяжение и сжатие (например, ферм), можно не учитывать деформации изгиба и сдвига; в соответствии с этим в формуле перемещений оставляется лишь член, содержащий продольные силы. В случае пространственной задачи формула перемещений (интеграл Мора) содержит не три члена (как в случае плоской задачи), а шесть — в соответствии с числом внутренних усилий, которые могут возникать в поперечных сечениях элементов. Эта формула имеет вид

где и -изгибающие моменты относительно осей у поперечных сечений соответственно, возникающие в единичном состоянии; — то же, в действительном состоянии; и -поперечные силы, параллельные соответственно осям гну поперечного сечения, возникающие в единичном состоянии; же, Ьдействительном состоянии; - крутящие моменты, возникающие в единичном и действительном состояниях соответственно; и - продольные силы в этих же состояниях; - геометрическая характеристика крутильной жесткости (см. § 6.6); при круглом поперечном сечении где - полярный момент инерции.

Практически в большинстве случаев пространственной задачи используются или только три первых члена последней формулы (когдаэлементы системы работают преимущественно на изгиб и кручение, например при расчете пространственных рам и ломаных балок), или только четвертый член формулы (например, при расчете пространственных ферм).

В дальнейшем при расчете балок и рам влияние продольных и поперечных сил на перемещения не учитывается, за исключением особо отмеченных случаев.

Рассмотрим в качестве примера балку постоянного сечения, свободно лежащую на двух опорах (рис. 16.11, а) и нагруженную посередине силой Определим прогиб балки под силой с учетом влияния всех членов формулы Мора (24.11).

Рис. 16.11

Единичным состоянием является состояние, вызванное единичным грузом действующим на балку в направлении искомого перемещения (рис. 16.11, б).

Продольные силы, возникающие в поперечных сечениях балки от нагрузки, равны нулю. Поэтому второй интеграл формулы (24.11) равняется нулю и эта формула принимает вид

где - прогиб, обусловленный деформацией изгиба (т. е. зависящий от изгибающих моментов):

— прогиб, обусловленный деформацией сдвига (т. е. зависящий от поперечных сил):

Для сечений балки в пределах от левой опоры до середины балки изгибающие моменты и поперечные силы равны:

Эпюры изображены на рис. 16.11 , в, г, д, е. Подставим значения моментов и поперечных сил в выражения

Интегрирование ведется в пределах левой половины балки; числовые коэффициенты 2 перед интегралами учитывают, что ввиду симметрии балки величина интеграла для правой ее половины такая же, как и для левой.

Полный прогиб

Знак плюс указывает на то, что направление прогиба совпадает с направлением единичной силы. Знак минус указал бы на то; что действительное направление прогиба точки С оси балки противоположно принятому направлению единичной силы

Найдем соотношение между прогибами, зависящими от поперечных сил и от изгибающих моментов. Предположим при этом, что рассматриваемая балка имеет прямоугольное поперечное сечение со сторонами b и А и что

Подставив в последнюю формулу значения и приняв получим

т. е. прогиб, вызванный деформацией сдвига, составляет только 3% от прогиба, вызванного деформацией изгиба.

Влияние поперечных сил на величину прогиба тем меньше, чем меньше отношение . Так, при

Совершенно очевидно, что величиной по сравнению с можно пренебречь. Тогда

Этот результат совпадает с результатом, вычисленным другим способом в § 15.7.