ЕГЭ и ОГЭ
Живые анекдоты
Главная > Физика > Сопротивление материалов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Макеты страниц

4.11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ИНТЕГРАЛ МОРА

Универсальный метод определения перемещений (линейных перемещений и углов поворота), возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки, имеет особенно большое значение для расчета статически неопределимых систем.

Рассмотрим два состояния системы. В первом состоянии на нее действует любое число каких угодно сил и моментов (рис. 14.11, а). Во втором состоянии к системе приложена одна лишь сосредоточенная сила (рис. 14.11, б).

Составим выражение работы силы на перемещении возникающем от сил первого состояния:

Выразим (в случае плоской задачи) через внутренние усилия в стержнях системы [с помощью формул (17.11) и (20.11)]:

Условимся, что черточки над указывают на то, что эти внутренние усилия вызваны действием силы, равной единице.

Таким образом, перемещение от любой нагрузки с помощью формулы (22.11) можно выразить через внутренние усилия, возникающие в заданной системе от этой нагрузки и возникающие в ней от единичной силы. Направление единичной силы совпадает с направлением определяемого перемещения. Если определяется линейное смещение (например, прогиб какой-либо точки оси стержня), то единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную силу, приложенную в этой точке; если же определяется угол поворота поперечного сечения в какой-либо точке; оси стержня, то единичная сила представляет собой сосредоточенный момент (также безразмерный), приложенный в этой точке.

Рис. 14.11

Состояние сооружения, вызванное действием единичной силы, называется единичным состоянием (или фиктивным). В отличие от него состояние, вызванное действием заданной нагрузки, называется действительным (или грузовым).

Иногда цифровые индексы 1 и 2 в формуле (22.11) заменяются буквенными, например тип, тогда эта формула принимает вид

(23.11)

где — перемещение по направлению «силы» вызванное действием нагрузки (группы «сил» ).

При размерах поперечных сечений каждого стержня системы, постоянных по длине этого стержня, выражение (23.11) принимает вид

(24.11)

Каждое из равенств (22.11) -(24.11) носит название формулы перемещений (интеграла, или формулы, Мора).

Определение перемещений с помощью полученной формулы производится в следующем порядке:

1) находятся выражения усилий от заданной нагрузки как функции координаты произвольного сечения;

2) по направлению искомого перемещения прикладывается соответствующая ему единичная сила (при линейном перемещении — сосредоточенная сила, при угле поворота — сосредоточенный момент);

3) определяются усилия от единичной силы как функции координаты произвольного сечения;

4) найденные выражения усилий подставляются в правую часть формулы (23.11) или (24.11) и интегрированием по участкам в пределах всего сооружения определяется искомое перемещение Если положительно, то перемещение совпадает с направлением единичной силы, а если отрицательно, то противоположно этому направлению.

В случае, если элемент конструкции представляет собой брус малой кривизны (см. § 1.10), определение перемещений может выполняться по формуле Мора, полученной для прямого бруса, с заменой элемента длины в подынтегральном выражении элементом дуги (см. пример 3.11).

Рис. 15.11

Иногда, в частности при расчете статически неопределимых систем, приходится определять взаимные перемещения отдельных точек или сечений сооружений. В этом случае в направлении искомого перемещения прикладывается обобщенная единичная сила (при определении линейного перемещения) или обобщенный единичный момент (при определении взаимного угла поворота). Например, если требуется определить изменение расстояния между точками С и D оси рамы, изображенной на рис. 15.11, а, то следует в точках С и D приложить единичные силы, направленные по линии CD, как показано на рис. 15.11, б. Вычисление интеграла Мора производится по изложенным выше правилам, но при этом под единичными внутренними усилиями понимаются их значения, соответствующие одновременному действию обеих единичных сил.

В рассматриваемом случае, если результат вычислений интеграла Мора получится положительным, то это будет указывать на то, что направление искомого перемещения совпадает с направлением единичных сил, т. е. расстояние между точками С и D увеличивается; знак минус указывает на уменьшение этого расстояния, т. е. на сближение точек С и

Аналогично можно определить взаимный угол поворота любых двух сечений рамы, например сечений, соответствующих тем же точкам С и D. Для этого в указанных сечениях надо приложить единичные моменты, действующие в противоположных направлениях (рис. 15.11, в). В остальном вычисление перемещения производится обычным порядком.

Практически в большинстве случаев плоской задачи используется лишь один член формулы перемещений. Именно, если рассматриваются сооружения, преимущественно работающие на изгиб (балки, рамы, а часто и арки), то в формуле перемещений с соблюдением вполне достаточной точности можно оставить только интеграл, зависящий от изгибающих моментов. При расчете сооружений, элементы которых работают в основном на центральное растяжение и сжатие (например, ферм), можно не учитывать деформации изгиба и сдвига; в соответствии с этим в формуле перемещений оставляется лишь член, содержащий продольные силы. В случае пространственной задачи формула перемещений (интеграл Мора) содержит не три члена (как в случае плоской задачи), а шесть — в соответствии с числом внутренних усилий, которые могут возникать в поперечных сечениях элементов. Эта формула имеет вид

где и -изгибающие моменты относительно осей у поперечных сечений соответственно, возникающие в единичном состоянии; — то же, в действительном состоянии; и -поперечные силы, параллельные соответственно осям гну поперечного сечения, возникающие в единичном состоянии; же, Ьдействительном состоянии; - крутящие моменты, возникающие в единичном и действительном состояниях соответственно; и - продольные силы в этих же состояниях; - геометрическая характеристика крутильной жесткости (см. § 6.6); при круглом поперечном сечении где - полярный момент инерции.

Практически в большинстве случаев пространственной задачи используются или только три первых члена последней формулы (когдаэлементы системы работают преимущественно на изгиб и кручение, например при расчете пространственных рам и ломаных балок), или только четвертый член формулы (например, при расчете пространственных ферм).

В дальнейшем при расчете балок и рам влияние продольных и поперечных сил на перемещения не учитывается, за исключением особо отмеченных случаев.

Рассмотрим в качестве примера балку постоянного сечения, свободно лежащую на двух опорах (рис. 16.11, а) и нагруженную посередине силой Определим прогиб балки под силой с учетом влияния всех членов формулы Мора (24.11).

Рис. 16.11

Единичным состоянием является состояние, вызванное единичным грузом действующим на балку в направлении искомого перемещения (рис. 16.11, б).

Продольные силы, возникающие в поперечных сечениях балки от нагрузки, равны нулю. Поэтому второй интеграл формулы (24.11) равняется нулю и эта формула принимает вид

где - прогиб, обусловленный деформацией изгиба (т. е. зависящий от изгибающих моментов):

— прогиб, обусловленный деформацией сдвига (т. е. зависящий от поперечных сил):

Для сечений балки в пределах от левой опоры до середины балки изгибающие моменты и поперечные силы равны:

Эпюры изображены на рис. 16.11 , в, г, д, е. Подставим значения моментов и поперечных сил в выражения

Интегрирование ведется в пределах левой половины балки; числовые коэффициенты 2 перед интегралами учитывают, что ввиду симметрии балки величина интеграла для правой ее половины такая же, как и для левой.

Полный прогиб

Знак плюс указывает на то, что направление прогиба совпадает с направлением единичной силы. Знак минус указал бы на то; что действительное направление прогиба точки С оси балки противоположно принятому направлению единичной силы

Найдем соотношение между прогибами, зависящими от поперечных сил и от изгибающих моментов. Предположим при этом, что рассматриваемая балка имеет прямоугольное поперечное сечение со сторонами b и А и что

Подставив в последнюю формулу значения и приняв получим

т. е. прогиб, вызванный деформацией сдвига, составляет только 3% от прогиба, вызванного деформацией изгиба.

Влияние поперечных сил на величину прогиба тем меньше, чем меньше отношение . Так, при

Совершенно очевидно, что величиной по сравнению с можно пренебречь. Тогда

Этот результат совпадает с результатом, вычисленным другим способом в § 15.7.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление