§ 6.9. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ БРУСЬЕВ С ЛОМАНОЙ ОСЬЮ

Определение внутренних усилий и построение эпюр этих усилий для пространственных брусьев с ломаной осью производятся методом сечений в том же порядке, как и для обычных балок (см. § 4.7 и 6.7). Предварительно нужно выбрать для всех поперечных сечений каждого элемента бруса пространственную прямоугольную систему координат

Ось этой системы должна совпадать с продольной осью элемента; оси у и проходят через центр тяжести поперечного сечений и расположены в его плоскости. Положительные направления осей выбираются произвольно. Положительные направления осей системы координат изображают на чертеже для каждой группы параллельных друг другу элементов бруса (рис. 25.9).

Рис. 25.9

Удобно один из концов бруса обозначать цифрой а все остальные концы бруса — цифрой II (рис. 25.9). Часть бруса, расположенную по одну сторону от рассматриваемого поперечного сечения (в котором определяются внутренние усилия), содержащую конец назовем частью I бруса. Другую часть бруса, не содержащую конца - частью II.

Поперечные силы, параллельные осям у и z поперечного сечения, обозначаем соответственно, а изгибающие моменты относительно этих осей — продольную силу N, а крутящий момент

Поперечные силы считаем положительными, когда в рассматриваемом поперечном сечении на торце части II они действуют в положительных направлениях осей у и , а на торце части I — в противоположных направлениях.

Значения можно определять по формулам [аналогичным формулам (3.7)]:

(33.9)

где — суммы проекций всех внешних сил, приложенных 1 и соответственно к частям I и II бруса, на ось у; и то же, на ось .

Проекции внешних сил на оси у и положительны, если их направления совпадают с положительными направлениями этих осей.

Продольные силы N считаем положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.

Крутящий момент положителен, если при взгляде в торец отсеченной части бруса этот момент представляется направленным по ходу часовой стрелки.

Положительные внутренние силы и N и крутящий момент Мн показаны на рис. 26.9.

На эпюрах указывают знаки усилий.

Для изгибсиощих моментов правила знаков не устанавливаем, а эпюры их изображаем со стороны сжатых волокон бруса.

При вычислении внутренних усилий в каком-либо поперечном сечении учитываются все внешние силы и моменты, приложенные к части бруса, расположенной по одну сторону от этого сечения.

Рис. 26.9

Построим для примера эпюры внутренних усилий для пространственного бруса, состоящего из двух элементов и изображенного на рис. 27.9. На этом рисунке показана выбранная для каждого элемента система прямоугольных координат здесь — защемленный конец бруса, а - свободный конец.

Рис. 27.9

Составим выражения внутренних усилий в элементах бруса.

Рассмотрим в элементе АВ поперечное сечение на расстоянии а от конца А бруса. Поперечная сила действующая в этом сечении со стороны части II бруса на торец части равна проекции на ось у внешних сил, приложенных к части т. е. по абсолютной величине равна силе Р и направлена вниз (т. е. в сторону отрицательного направления оси следовательно [см. формулу (33.9)], знак поперечной силы положителен.

Таким образом,

Поперечная сила и продольная сила N в сечениях элемента АВ равны нулю, так как проекции силы Р на оси и равны нулю. Изгибающий момент в поперечном сечении элемента АВ равен моменту нагрузки, приложенной к части II балки, относительно оси, проведенной через центр тяжести сечения параллельно оси т. е. равен он сжимает нижние волокна элемента АВ.

Изгибающий момент в сечении элемента АВ равен нулю, а крутящий момент Для элемента ВС получаем: - сжаты нижние волокна элемента

На рис. 28.9 построены (в аксонометрии) эпюры для рассмотренного ломаного бруса. Усилия в брусе равны нулю.

Рис. 28.9

Построение эпюр внутренних усилий для пространственных брусьев можно производить, последовательно отсекая и отбрасывая элементы бруса, для которых уже построены эпюры; к оставшейся части бруса в месте проведенного сечения прикладываются внешние силы и моменты, равные внутренним усилиям в этом сечении. Такой прием построения рассмотрен ниже в примере 7.9.