ЕГЭ и ОГЭ
Живые анекдоты
Главная > Физика > Сопротивление материалов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЙ ПРОСТОЙ ФОРМЫ

Как указано в § 1.5, геометрические характеристики сложных сечений определяются путем расчленения их на ряд простых фигур, геометрические характеристики которых можно вычислить по соответствующим формулам или определить по специальным таблицам. Эти формулы получаются в результате непосредственного интегрирования выражений (8.5)-(10.5). Приемы их получения рассматриваются ниже на примерах прямоугольника, треугольника и круга.

Прямоугольное сечение

Определим осевой момент инерции прямоугольника высотой h и шириной b относительно оси проходящей через его основание (рис. 11.5, а). Выделим из прямоугольника линиями, параллельными оси элементарную полоску высотой и шириной b.

Рис. 11.5

Площадь этой полоски расстояние от полоски до оси равно их. Подставим эти величины в выражение момента инерции (8.5):

Аналогичным путем для момента инерции относительно оси можно получить выражение

Для определения центробежного момента инерции выделим из прямоугольника линиями, параллельными осям (рис.

11.5, б), элементарную площадку величиной . Определим сначала центробежный момент инерции не всего прямоугольника, а лишь вертикальной полоски высотой h и шириной расположенной на расстоянии от оси

Произведение вынесено за знак интеграла, так как для всех площадок, принадлежащих рассматриваемой вертикальной полоске, оно постоянно.

Рис. 12.5

Проинтегрируем затем выражение в пределах от до

Определим теперь осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей у и , проходящих через центр тяжести параллельно сторонам прямоугольника (рис. 12.5). Для этого случая пределы интегрирования будут от до

Следовательно,

Аналогично

Центробежный момент инерции прямоугольника относительно осей (рис. 12.5) равен нулю, так как эти оси совпадают с его осями симметрии.

Треугольное сечение

Определим осевые моменты инерции треугольника относительно трех параллельных осей , проходящих через его основание (рис. 13.5, а), центр тяжести (рис. 13.5,б) и вершину (рис. 13.5, е).

Для случая, когда ось проходит через основание треугольника (рис. 13.5, а),

Рис. 13.5

Для случая, когда ось проходит через центр тяжести треугольника параллельно его основанию (рис. 13.5, б),

В случае, когда ось проходит через вершину треугольника параллельно его основанию (рис. 13.5, в),

Момент инерции значительно больше (в три раза), чем момент инерции так как основная часть площади треугольника более удалена от оси чем от оси

Выражения (17.5) — (19.5) получены для равнобедренного треугольника. Однако они верны и для неравнобедренных треугольников. Сравнивая, например, треугольники, показанные на рис. 13.5, а и 13.5, г, из которых первый равнобедренный, а второй неравнобедренный, устанавливаем, что размеры площадки и пределы, в которых изменяется у (от 0 до ) для обоих треугольников одинаковы. Следовательно, моменты инерции для них также одинаковы. Аналогично можно показать, что осевые моменты инерции всех сечений, изображенных на рис. 14.5, одинаковы. Вообще смещение частей сечения параллельно некоторой оси не влияет на величину осевого момента инерции относительно этой оси.

Рис. 14.5

Очевидно, что сумма осевых моментов инерции треугольника относительно осей показанных на рис. 13.5, а и 13.5, в, должна быть равна осевому моменту инерции прямоугольника относительно оси показанной на рис. 11.5, а. Это следует из того, что прямоугольник можно рассматривать как два треугольника, для одного из которых ось проходит через основание, а для другого — через вершину параллельно его основанию (рис. 15.5).

Действительно, по формулам (17.5) и (19.5)

что совпадает с выражением прямоугольника по формуле (12.5).

Рис. 15.5

Рис. 16.5

Сечение в форме круга

Определим осевой момент инерции круга относительно любой оси , проходящей через его центр тяжести. Из рис. 16.5, а следует

но

Следовательно,

и

Очевидно, что относительно любой оси, проходящей через центр круга, осевой момент инерции будет равен и, следовательно,

По формуле (11.5) находим полярный момент инерции круга относительно его центра:

Формулу осевого момента инерции круга можно получить более простым путем, если предварительно вывести формулу для его полярного момента инерции относительно центра (точки О). Для этого выделим из круга элементарное кольцо толщиной радиусом и площадью (рис. 16.5,б).

Полярный момент инерции элементарного кольца относительно центра круга так как все элементарные площадки из которых состоит это кольцо, расположены на одинаковом расстоянии от центра круга. Следовательно,

Так как

то

Этот результат совпадает с полученным выше.

Моменты инерции (полярный и осевые) сечения, имеющего форму кругового кольца с наружным диаметром d и внутренним (рис. 17.5), можно определить как разности между соответствующими моментами инерции наружного и внутреннего кругов.

Рис. 17.5

Полярный момент инерции кольца на основании формулы (21.5)

или, если обозначить

Аналогично, для осевых моментов инерции кольца

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление