§ 4.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЙ ПРОСТОЙ ФОРМЫ

Как указано в § 1.5, геометрические характеристики сложных сечений определяются путем расчленения их на ряд простых фигур, геометрические характеристики которых можно вычислить по соответствующим формулам или определить по специальным таблицам. Эти формулы получаются в результате непосредственного интегрирования выражений (8.5)-(10.5). Приемы их получения рассматриваются ниже на примерах прямоугольника, треугольника и круга.

Прямоугольное сечение

Определим осевой момент инерции прямоугольника высотой h и шириной b относительно оси проходящей через его основание (рис. 11.5, а). Выделим из прямоугольника линиями, параллельными оси элементарную полоску высотой и шириной b.

Рис. 11.5

Площадь этой полоски расстояние от полоски до оси равно их. Подставим эти величины в выражение момента инерции (8.5):

Аналогичным путем для момента инерции относительно оси можно получить выражение

Для определения центробежного момента инерции выделим из прямоугольника линиями, параллельными осям (рис.

11.5, б), элементарную площадку величиной . Определим сначала центробежный момент инерции не всего прямоугольника, а лишь вертикальной полоски высотой h и шириной расположенной на расстоянии от оси

Произведение вынесено за знак интеграла, так как для всех площадок, принадлежащих рассматриваемой вертикальной полоске, оно постоянно.

Рис. 12.5

Проинтегрируем затем выражение в пределах от до

Определим теперь осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей у и , проходящих через центр тяжести параллельно сторонам прямоугольника (рис. 12.5). Для этого случая пределы интегрирования будут от до

Следовательно,

Аналогично

Центробежный момент инерции прямоугольника относительно осей (рис. 12.5) равен нулю, так как эти оси совпадают с его осями симметрии.

Треугольное сечение

Определим осевые моменты инерции треугольника относительно трех параллельных осей , проходящих через его основание (рис. 13.5, а), центр тяжести (рис. 13.5,б) и вершину (рис. 13.5, е).

Для случая, когда ось проходит через основание треугольника (рис. 13.5, а),

Рис. 13.5

Для случая, когда ось проходит через центр тяжести треугольника параллельно его основанию (рис. 13.5, б),

В случае, когда ось проходит через вершину треугольника параллельно его основанию (рис. 13.5, в),

Момент инерции значительно больше (в три раза), чем момент инерции так как основная часть площади треугольника более удалена от оси чем от оси

Выражения (17.5) — (19.5) получены для равнобедренного треугольника. Однако они верны и для неравнобедренных треугольников. Сравнивая, например, треугольники, показанные на рис. 13.5, а и 13.5, г, из которых первый равнобедренный, а второй неравнобедренный, устанавливаем, что размеры площадки и пределы, в которых изменяется у (от 0 до ) для обоих треугольников одинаковы. Следовательно, моменты инерции для них также одинаковы. Аналогично можно показать, что осевые моменты инерции всех сечений, изображенных на рис. 14.5, одинаковы. Вообще смещение частей сечения параллельно некоторой оси не влияет на величину осевого момента инерции относительно этой оси.

Рис. 14.5

Очевидно, что сумма осевых моментов инерции треугольника относительно осей показанных на рис. 13.5, а и 13.5, в, должна быть равна осевому моменту инерции прямоугольника относительно оси показанной на рис. 11.5, а. Это следует из того, что прямоугольник можно рассматривать как два треугольника, для одного из которых ось проходит через основание, а для другого — через вершину параллельно его основанию (рис. 15.5).

Действительно, по формулам (17.5) и (19.5)

что совпадает с выражением прямоугольника по формуле (12.5).

Рис. 15.5

Рис. 16.5

Сечение в форме круга

Определим осевой момент инерции круга относительно любой оси , проходящей через его центр тяжести. Из рис. 16.5, а следует

но

Следовательно,

и

Очевидно, что относительно любой оси, проходящей через центр круга, осевой момент инерции будет равен и, следовательно,

По формуле (11.5) находим полярный момент инерции круга относительно его центра:

Формулу осевого момента инерции круга можно получить более простым путем, если предварительно вывести формулу для его полярного момента инерции относительно центра (точки О). Для этого выделим из круга элементарное кольцо толщиной радиусом и площадью (рис. 16.5,б).

Полярный момент инерции элементарного кольца относительно центра круга так как все элементарные площадки из которых состоит это кольцо, расположены на одинаковом расстоянии от центра круга. Следовательно,

Так как

то

Этот результат совпадает с полученным выше.

Моменты инерции (полярный и осевые) сечения, имеющего форму кругового кольца с наружным диаметром d и внутренним (рис. 17.5), можно определить как разности между соответствующими моментами инерции наружного и внутреннего кругов.

Рис. 17.5

Полярный момент инерции кольца на основании формулы (21.5)

или, если обозначить

Аналогично, для осевых моментов инерции кольца