1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640
Макеты страниц
§ 2.6. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯРассмотрим прямой брус с поперечным сечением в виде круга, нагруженный на концах скручивающими моментами Ш (рис. 6.6). В результате действия этих моментов крайние сечения бруса повернутся друг относительно друга вокруг его продольной оси на некоторый угол Рис. 6.6 Отношение полного угла закручивания Если размеры поперечных сечений прямого бруса и крутящие моменты, действующие в них, на некотором участке бруса постоянны, то значение Угол Теория кручения брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение, основана на следующих положениях. 1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ней и после деформации (гипотеза плоских сечений); они лишь поворачиваются на некоторые углы вокруг этой оси. 2. Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину. 3. Расстояния (вдоль оси бруса) между поперечными сечениями не изменяются. Формулы, выведенные на основе этих положений, совпадают с формулами, полученными точными методами теории упругости, и подтверждаются экспериментально. Выделим двумя поперечными сечениями элемент скручиваемого бруса длиной Рис. 7.6 Продольное волокно Величина По основанию Величина их, на основании закона Гука при сдвиге, равна Итак, в поперечных сечениях бруса при кручении возникают касательные напряжения, направление которых в каждой точке перпендикулярно к радиусу, соединяющему эту точку с центром сечения, а величина прямо пропорциональна расстоянию точки от центра. В центре (при Рис. 8.6 Выделим из элемента По основанию Поперечные сечения бруса остаются плоскими и не смещаются вдоль его оси, а контуры сечений и их радиусы не деформируются, т. е. для любой точки бруса деформации Следовательно, на всех гранях элементарного параллелепипеда (рис. 8.6) нормальные напряжения отсутствуют, а этот параллелепипед (как и бесконечное множество других таких параллелепипедов, составляющих скручиваемый брус) находится в напряженном состоянии чистого сдвига. Другими словами, во всех точках круглого бруса при кручении создается напряженное состояние чистого сдвига. Рассмотрим две элементарные площадки dF поперечного сечения бруса, расположенные на общем диаметре на равных расстояниях от центра сечения (рис. 9.6). Силы, действующие на каждую из этих площадок, равны Рис. 9.6 Рис. 10.6 Установим зависимость между крутящим моментом и касательными напряжениями, возникающими в поперечном сечении бруса. Момент элементарной силы или на основании (4.6) откуда Здесь Следовательно, откуда Подставив полученное значение д в формулу (4.6), найдем касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения скручиваемого круглого бруса: Наибольшее касательное напряжение, возникающее в непосредственной близости к наружной боковой поверхности бруса, т. е. в точках контура его поперечного сечения, найдем, подставив в выражение (7.6) значение Здесь Полярным моментом сопротивления сечения называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от центра тяжести сечения до наиболее удаленной его точки. Полярный момент сопротивления выражается в Полярный момент инерции круглого поперечного сечения определяется по формуле (21.5): и, следовательно, полярный момент сопротивления равен Рис. 11.6 Формулы (5.6)-(9.6), выведенные для расчета на кручение прямых брусьев круглого сплошного сечения, применимы и в случае, если поперечное сечение имеет форму кольца (рис. 11.6), так как характер деформации при кручении для обеих указанных форм поперечных сечений одинаков. Полярный момент инерции кольцевого сечения определяется по формуле (22.5): где Полярный момент сопротивления кольцевого сечения определяется по формуле Отметим, что полярный момент сопротивления кольцевого сечения не равен разности полярных моментов сопротивления, подсчитанных для двух сплошных сечений: одного с диаметром, равным наружному диаметру кольца, а другого — внутреннему. При одинаковой площади поперечного сечения (т. е. при одинаковом расходе материала) полярные момент инерции и момент сопротивления для кольцевого сечения, которое не имеет площадок, близко расположенных к центру, значительно больше, чем для сплошного круглого сечения. Поэтому брус кольцевого сечения при кручении является более экономичным, чем брус сплошного круглого сечения, т. е. требует меньшего расхода материала. Но при проектировании валов (брусьев, работающих на кручение) следует учитывать, что в случае кольцевого сечения их изготовление сложнее, а значит, и дороже. Полный угол закручивания стержня на участке длиной l на основании формул (3.6) и (6.6) Угол Если крутящий момент во всех поперечных сечениях бруса имеет одно и то же значение, а размеры сечения постоянны по всей его длине, то полный угол закручивания определяется из выражения Из формул (7.6) и (8.6) видно, что значения напряжений при кручении не зависят от физических свойств материала бруса, так как величина G в формулы напряжений не входит. Значения же деформаций зависят от свойств материала. Произведение По значениям полных углов закручивания Следовательно, Угол а положителен, если при взгляде вдоль оси бруса со стороны левого его конца на правый поворот происходит против часовой стрелки, а при взгляде со стороны правого конца на левый — по часовой стрелке.
|
Оглавление
|