§ 2.6. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Рассмотрим прямой брус с поперечным сечением в виде круга, нагруженный на концах скручивающими моментами Ш (рис. 6.6). В результате действия этих моментов крайние сечения бруса повернутся друг относительно друга вокруг его продольной оси на некоторый угол который представляет собой полный угол закручивания на участке длиной L

Рис. 6.6

Отношение полного угла закручивания на элементарном участке бруса к длине называется относительным углом закручивания, который обозначается

Если размеры поперечных сечений прямого бруса и крутящие моменты, действующие в них, на некотором участке бруса постоянны, то значение также постоянно и равно отношению полного угла закручивания на этом участке к его длине

Угол измеряется в радианах, а относительный угол закручивания b выражается в и т. п.

Теория кручения брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение, основана на следующих положениях.

1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ней и после деформации (гипотеза плоских сечений); они лишь поворачиваются на некоторые углы вокруг этой оси.

2. Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину.

3. Расстояния (вдоль оси бруса) между поперечными сечениями не изменяются.

Формулы, выведенные на основе этих положений, совпадают с формулами, полученными точными методами теории упругости, и подтверждаются экспериментально.

Выделим двумя поперечными сечениями элемент скручиваемого бруса длиной (рис. 7.6, а). В результате деформации одно сечение повернется относительно другого на угол . Будем считать левое сечение элемента неподвижно закрепленным. Тогда величина представит собой угол поворота правого торцевого сечения элемента вокруг продольной оси бруса.

Рис. 7.6

Продольное волокно (рис. 7.6, а), находящееся на расстоянии от оси бруса, можно рассматривать как параллелепипед высотой с бесконечно малыми основаниями Этот параллелепипед в результате деформации перекосится и займет положение . Основание при этом сместится в своей плоскости, повернувшись вместе с правым торцевым сечением рассматриваемого элемента на угол вокруг продольной оси бруса.

Величина его смещения равна и представляет собой абсолютный сдвиг основания параллелепипеда относительно основания в направлении, перпендикулярном к радиусу . Отношение этой величины к высоте параллелепипеда является относительным сдвигом у (см. § 2.4 и рис. 7.6, а):

По основанию параллелепипеда в направлении сдвига, т. е. перпендикулярно к радиусу , действуют касательные напряжения (рис. 7.6, б).

Величина их, на основании закона Гука при сдвиге, равна

Итак, в поперечных сечениях бруса при кручении возникают касательные напряжения, направление которых в каждой точке перпендикулярно к радиусу, соединяющему эту точку с центром сечения, а величина прямо пропорциональна расстоянию точки от центра. В центре (при касательные напряжения равны нулю; в точках же, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности бруса, они наибольшие. График изменения величин вдоль какого-либо радиуса (т. е. эпюра касательных напряжений) изображается прямой линией (см. рис. 7.6, б).

Рис. 8.6

Выделим из элемента бруса (рис. 7.6, а) бесконечно малый параллелепипед, изображенный на рис. 8.6. Основание этого параллелепипеда расположено в плоскости поперечного сечения бруса, а боковая грань радиальной плоскости, проходящей через ось бруса; боковая грань перпендикулярна к радиусу р.

По основанию действуют касательные напряжения, определяемые формулой (4.6). Из закона парности касательных напряжений следует, что по боковой грани параллелепипеда возникают касательные напряжения, величины которых также определяются формулой (4.6). На боковой грани касательные напряжения равны нулю.

Поперечные сечения бруса остаются плоскими и не смещаются вдоль его оси, а контуры сечений и их радиусы не деформируются, т. е. для любой точки бруса деформации в направлениях ребер рассматриваемого параллелепипеда равны нулю. Из формул (27.3), выражающих обобщенный закон Гука, очевидно, что условие выполняется лишь в случае

Следовательно, на всех гранях элементарного параллелепипеда (рис. 8.6) нормальные напряжения отсутствуют, а этот параллелепипед (как и бесконечное множество других таких параллелепипедов, составляющих скручиваемый брус) находится в напряженном состоянии чистого сдвига. Другими словами, во всех точках круглого бруса при кручении создается напряженное состояние чистого сдвига.

Рассмотрим две элементарные площадки dF поперечного сечения бруса, расположенные на общем диаметре на равных расстояниях от центра сечения (рис. 9.6). Силы, действующие на каждую из этих площадок, равны расположены в плоскости поперечного сечения бруса и направлены перпендикулярно к диаметру в противоположные стороны. Они образуют элементарную пару сил. Таких пар в поперечном сечении возникает бесчисленное множество. Все они приводятся к одному моменту, действующему в плоскости поперечного сечения и представляющему собой крутящий момент

Рис. 9.6

Рис. 10.6

Установим зависимость между крутящим моментом и касательными напряжениями, возникающими в поперечном сечении бруса. Момент элементарной силы относительно центра сечения (или, что то же самое, относительно продольной оси бруса) равен произведению этой силы на расстояние от площадки до центра сечения (рис. 10.6):

или на основании (4.6)

откуда

Здесь - полярный момент инерции поперечного сечения бруса относительно его центра (см. § 3.5).

Следовательно,

откуда

Подставив полученное значение д в формулу (4.6), найдем касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения скручиваемого круглого бруса:

Наибольшее касательное напряжение, возникающее в непосредственной близости к наружной боковой поверхности бруса, т. е. в точках контура его поперечного сечения, найдем, подставив в выражение (7.6) значение

Здесь полярный момент сопротивления поперечного сечения бруса:

Полярным моментом сопротивления сечения называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от центра тяжести сечения до наиболее удаленной его точки. Полярный момент сопротивления выражается в и т. п.

Полярный момент инерции круглого поперечного сечения определяется по формуле (21.5):

и, следовательно, полярный момент сопротивления равен

Рис. 11.6

Формулы (5.6)-(9.6), выведенные для расчета на кручение прямых брусьев круглого сплошного сечения, применимы и в случае, если поперечное сечение имеет форму кольца (рис. 11.6), так как характер деформации при кручении для обеих указанных форм поперечных сечений одинаков.

Полярный момент инерции кольцевого сечения определяется по формуле (22.5):

где

Полярный момент сопротивления кольцевого сечения определяется по формуле

Отметим, что полярный момент сопротивления кольцевого сечения не равен разности полярных моментов сопротивления, подсчитанных для двух сплошных сечений: одного с диаметром, равным наружному диаметру кольца, а другого — внутреннему.

При одинаковой площади поперечного сечения (т. е. при одинаковом расходе материала) полярные момент инерции и момент сопротивления для кольцевого сечения, которое не имеет площадок, близко расположенных к центру, значительно больше, чем для сплошного круглого сечения. Поэтому брус кольцевого сечения при кручении является более экономичным, чем брус сплошного круглого сечения, т. е. требует меньшего расхода материала. Но при проектировании валов (брусьев, работающих на кручение) следует учитывать, что в случае кольцевого сечения их изготовление сложнее, а значит, и дороже.

Полный угол закручивания стержня на участке длиной l на основании формул (3.6) и (6.6)

Угол представляет собой взаимный угол поворота концевых сечений участка.

Если крутящий момент во всех поперечных сечениях бруса имеет одно и то же значение, а размеры сечения постоянны по всей его длине, то полный угол закручивания определяется из выражения

Из формул (7.6) и (8.6) видно, что значения напряжений при кручении не зависят от физических свойств материала бруса, так как величина G в формулы напряжений не входит. Значения же деформаций зависят от свойств материала.

Произведение называется жесткостью сечения при кручении. Она выражается в кгс•мм, и т. д. Из формул (6.6), (12.6) и (13.6) следует, что величины относительных и полных углов закручивания бруса обратно пропорциональны жесткости его поперечных сечений.

По значениям полных углов закручивания вычисленным для каждого участка скручиваемого бруса, можно найти угол а поворота произвольного поперечного сечения бруса по отношению к неподвижному (или к сечению, условно принятому за неподвижное). При этом следует иметь в виду, что полный угол закручивания на каком-либо участке бруса равен разности углов аправ и алев поворота правого и левого концов этого участка, т. е.

Следовательно,

Угол а положителен, если при взгляде вдоль оси бруса со стороны левого его конца на правый поворот происходит против часовой стрелки, а при взгляде со стороны правого конца на левый — по часовой стрелке.