Примеры расчета

Пример 1.5 (к § 2.5). Найти положения центров тяжести сечений в виде треугольника и полукруга, изображенных на рис. 23.5, а, б.

Решение.

а) Сечение в виде треугольника.

На рис. 23.5, а показаны принятые случайные оси у и z. Выделим в треугольнике на расстоянии у от оси элементарную полоску шириной и рысотой Площадь этой полоски . Из подобия треугольников находим и, следовательно,

По формулам (2.5):

где

По формулам (6.5) находим координаты центра тяжести С треугольника:

Положение центра тяжести С треугольника показано на рис. 23.5, а. б) Сечение в виде полукруга.

На рис. 23.5, б показаны принятые случайные оси у и . Центр тяжести С сечения расположен на оси у — в связи с симметрией сечения относительно этой оси. Поэтому необходимо определить лишь ординату центра тяжести.

Рис. 23.5

Выделим в полукруге на расстоянии у от оси элементарную полоску шириной и высотой Площадь этой полоски но Расстояние и, следовательно, . По формуле (2.5):

По формуле (6.5):

Положение центра тяжести С полукруга показано на рис. 23.5, б.

Пример 2.5 (к § 2.5, 4.5, 5.5 и 7.5). Определить величины главных центральных моментов инерции для таврового сечения, изображенного на рис. 24.5.

Решение. В системе координат (рис. 24.5) абсцисса центра тяжести сечения равна нулю — в связи с симметрией сечения относительно оси у. Определим ординату центра тяжести сечения, разбив сечение на два прямоугольника, площади которых

По формуле (6.5):

Центр тяжести сечения (точка С) показан на рис. 24.5.

Рис. 24.5

Проводим через него главные центральные оси инерции у и (главными они являются потому, что одна из них совпадает с осью симметрии сечения) и определяем главные моменты инерции относительно этих осей. По формуле (25.5)

где по формуле (15.5)

Следовательно,

Аналогично

Ось у является осью максимум (так как а ось -осью минимум.

Пример 3.5 (к § 6.5), Определить центробежный момент инерции прямоугольного треугольника относительно центральных осей, параллельных его катетам. Размеры катетов b и

Решение. Проведем через центр тяжести прямоугольного треугольника (рис. 25.5) оси и параллельные сторонам треугольника, и определим осевые моменты инерции

По формуле (18.5):

где (так как площадь треугольника 1.

Следовательно,

По формуле (32.5):

Здесь

Таким образом,

или после сокращения на

откуда

Пример 4.5 (к § 5.5 и 6.5). Определить моменты инерции неравнобокого уголка сечением мм относительно осей показанных на рис. 26.5.

Рис. 25.5

Рис. 26.5

Решение. По сортаменту прокатной угловой неравнобокой стали устанавливаем положение центра тяжести С заданного уголка и значения необходимых геометрических характеристик его сечения: следовательно, см.

На основании формулы (33.5)

и, следовательно,

По формуле (34.5), принимая за исходные оси и и у, находим

где (так как оси и и v главные).

Следовательно,

Тот же результат можно получить, приняв за исходные не оси , а оси у и . Тогда по формуле (34.5)

(так как оси и и v главные), откуда

По формулам (27.5), (25.5) и (29.5) для случая параллельного переноса осей координат:

см.

Значение см принято отрицательным потому, что ордината точки О в исходной системе координат отрицательна.

Рис. 27.5

Пример 5.5 (к § 2.5-8.5). Найти положение главных центральных осей инерции и значения главных центральных моментов инерции для сечения, состоящего из неравнобокого уголка размером мм (рассмотренного в примере 4.5) и прямоугольника размером см (рис. 27.5). Проверить аналитическое решение с помощью круга Мора.

Решение. Необходимые геометрические характеристики уголка при расчете выписываем из примера 4.5.

По формуле (6.5) находим координаты центра тяжести заданного составного сечения в системе координат

По полученным значениям на рис. 27.5 показан центр тяжести С составного сечения. Он расположен на прямой, соединяющей центры тяжести уголка и прямоугольника (точки ).

Через точку С проводим центральные оси у и . По формулам (25.5), (27.5) и (29.5) для случая параллельного переноса осей коордиьат находим моменты инерции относительно этих осей:

В этих выражениях индексы означают характеристики, относящиеся к уголку, а индексы «пр» — к прямоугольнику.

Рис. 28.5

Подставляем в выражения числовые значения характеристик (значения и берем из примера

По формуле (36.5) определяем положение главных центральных осей:

откуда

Положения главных центральных осей и и v показаны на рис. 27.5. Ось и является осью максимум, так как она наклонена под меньшим углом к оси z, чем к оси у,

По формуле (38.5) находим значения главных центральных моментов инерции:

На рис. 28.5 показано определение положения главных центральных осей инерции и значений главных центральных моментов инерции с помощью круга Мора.